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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数 学（理工农医类）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：
三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式
sin??cos??cos??sin??121212[sin(???)?sin(???)] S台侧?[sin(???)?sin(???)]12(c??c)l 其中c?、c分别表示
上、下底面周长，l表示斜高或母线长.
43cos??cos??[cos(???)?cos(???)] 球体的体积公式：V球?[cos(???)?cos(???)] 表示球的半径.
?R3 ，其中R
sin??sin???12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的 1．已知x?(? （A）
724?2，0），socx?72445，则tg2x? （ ）
247 （B）?8sin?cos?2 （C）24 （D）?7
2．圆锥曲线??的准线方程是 （ ）
（A）?cos???2 （B）?cos??2 （C）?sin??2 （D）?sin???2
?x??21?1x?03．设函数f(x)?? ，若f(x0)?1，则x0的取值范围是 （ ）
2x?0??x （A）（?1，1） （B）（?1，??）
（C）（??，?2）?（0，??） （D）（??，?1）?（1，??）
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4．函数y?2sinx(sinx?cosx)的最大值为 （ ） （A）1?2 （B）2?1 （C）2 （D）2
5．已知圆C：(x?a)2?(y?2)2?4（a?0）及直线l：x?y?3?0，当直线l被C截得
的弦长为23时，则a （ ） （A）2 （B）2?2 （C）2?1 （D）2?1
6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
38 （A）2?R2 （B）9?R2 （C）?R2 （D）?R2
4327．已知方程(x2?2x?m)(x2?2x?n)?0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，则
4|m?n|? （ ）
（A）1 （B）
34 （C）1 （D）
2388．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线y?x?1与其相交于M、N两点，
MN中点的横坐标为? （A）
x223，则此双曲线的方程是 （ ）
x23?y24?1 （B）
42?y23?1 （C）
?1x25?y22?1 （D）
x22?y25?1
9．函数f(x)?sinx，x?[?3?2,]的反函数f(x)? （ ）
（A）?arcsinx x?[?1，1] （B）???arcsinx x?[?1，1] （C）??arcsinx x?[?1，1] （D）??arcsinx x?[?1，1]
10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB
的中点P0沿与AB的夹角?的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0），若1?x4?2，则tg?的取值范围是 （ ） （A）（1，1） （B）（
313，2） （C）（
325，
12） （D）（2，
523）
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11．limC2?C3?C4???Cn11122221n??n(C2?C3?C4???Cn)? （ ）
（A）3 （B）1 （C）
316 （D）6
12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A）3? （B）4? （C）33? （D）6?
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数 学（理工农医类）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 13．(x2?1)9的展开式中x9系数是 2x14．使log2(?x)?x?1成立的x的取值范围是 15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图
着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有
4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 3 种（以数字作答）
16．下列5个正方体图形中，l是正方体的一条对
2 1 4 5 角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l?面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）
P M P N l M l N P M N l M P M l N l N P ① ② ③ ④ ⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）
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已知复数z的辐角为60?，且|z?1|是|z|和|z?2|的等比中项，求|z|
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，?ACB?90?，侧棱AA1?2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
（I）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
（II）求点A1到平面AED的距离
19．（本小题满分12分） 已知c?0，设
P：函数y?cx在R上单调递减 Q：不等式x?|x?2c|?1的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围
20．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南?(??arccos210CB
AD E C G K A
F
B
y O 海 ?岸 线 北 东x ）
方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北
45?方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径
为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．（本小题满分14分）
已知常数a?0，在矩形ABCD中，AB?4，
D F y C P G A O B x E rP45?P 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 七彩教育网 http://www.7caiedu.cn
BC?4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且BE?CF?DG，
BCCDDAP为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由
22．（本小题满分12分，附加题4 分）
（I）设{an}是集合{2s?2t| 0?s?t且s,t?Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1?3，a2?5，a3?6，a4?9，a5?10，a6?12，…
将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3 5
6
9 10 12
— — — —
…………
⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
⑵求a100
（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）
设{bn}是集合{2r?2s?2t|0?r?s?t，且r,s,t?Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知bk?1160，求k.
2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
数学（理工农医类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.
1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A
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