2018年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（全国III卷）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
│x?1?0，B??0,1,2?，则A1．已知集合A?x??B?（ ）
（A）?0? （B）?1? （C）?1,2? （D）?0,1,2?
2．?1?i??2?i??（ ）
（A）?3?i （B）?3?i （C）3?i （D）3?i
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
4．若sin??518778，则cos2??（ ）（A） （B） （C）? （D）? 399992??45．?x2??的展开式中x的系数为（ ） （A）10 （B）20 （C）40 （D）80
x??26．直线x?y?2?0分别与x,y轴交于A,B两点，点P在圆?x?2??y?2上，则?ABP面积的取
2值范围是（ ） （A）?2,6? （B）?4,8?
（C）?2,32?
??（D）?22,32?
??7．函数y??x4?x2?2的图像大致为（ ）
8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX?2.4，P?X?4??P?X?6?，则p?（ ） （A）0.7 （B）0.6 （C）0.4 （D）0.3
a2?b2?c29．?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若?ABC的面积为，则C?（ ）
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（A）
???? （B） （C） （D） 234610．设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，?ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D?ABC体积的最大值为（ ）（A）123 （B）183 （C）243 （D）543
x2y211．设F1,F2是双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点，O是坐标原点。过F2作C的一条
ab渐近线的垂线，垂足为P。若|PF，则C的离心率为（ ） 1|?6|OP|（A）5 （B）2 （C）3 （D）2 12．设a?log0.20.3，b?log20.3，则（ ）
（A）a?b?ab?0 （B）ab?a?b?0 （C）a?b?0?ab （D）ab?0?a?b
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量a??1,2?，b??2,?2?，c??1,??。若c//2a?b，则??_______。 14．曲线y??ax?1?ex在点?0,1?处的切线的斜率为?2，则a?________。 15．函数f?x??cos?3x????????在?0,??的零点个数为________。 6?216．已知点M??1,1?和抛物线C：y?4x，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A,B两点。若
?AMB?900，则k?________。
三．解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：60分。
17．（本小题12分）等比数列?an?中，a1?1，a5?4a3。⑴求?an?的通项公式；⑵记Sn为?an?的 前项和。若Sm?63，求m。
18．（本小题12分）某工厂为提高 生产效率，开展技术创新活动，提出了 完成某项生产任务的两种新的生产方式。为比较两种生产方式的效率，选取
40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图。⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过
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第一种生产方式 第二种生产方式 超过m 不超过m
m和不超过m的工人数填入下面的列联表；⑶根据⑵中的列联
表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
P?K2?k? 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 n?ad?bc?2附：K?，
a?bc?da?cb?d????????219．（本小题12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧
CD所在平面垂直，M是CD上异于C,D的点。⑴证明：平面AMD?平面
BMC；⑵当三棱锥M?ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角
的正弦值。
x2y2?1交于A,B20．（本小题12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：?43两点，线段AB的中点为M?1,m??m?0?。⑴证明：k??1；⑵设F为C的右焦点，P为C上一点，且2FP?FA?FB?0，证明：|FA|,|FP|,|FB|成等差数列，并求该数列的公差。
221．（本小题12分）已知函数f?x??2?x?axln?1?x??2x。⑴若a?0，证明：当?1?x?0时
??f?x??0，当x?0时f?x??0；⑵若x?0是f?x?的极大值点，求a。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在平面直角坐标
?x?cos?O系xOy中，的参数方程为?（?为参数），过点0,?2且
y?sin????倾斜角为?的直线l与O交于A,B两点。⑴求?的取值范围；⑵求
AB中点P的轨迹的参数方程。
23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）设函数
f?x??|2x?1|?|x?1|。⑴画出y?f?x?的图像；⑵当x??0,???，f?x??ax?b，求a?b的最小值。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）解答
一．选择题 CDABC ADBCB CB 二．填空题 13．
1；14．?3；15．3；16．2 217．解：⑴设?an?的公比为q，由题设得an?qn?1。由已知得q4?4q2，解得q?0（舍），q??2或
q?2。故an???2?⑵若an???2?n?1或an?2n?1；
nn?11???2?m，则Sn?。由Sm?63得??2???188，此方程没有正整数解；若an?2n?1，
3则Sn?2n?1。由Sm?63得2m?64，解得m?6。综上，m?6。
18．解：⑴第二种生产方式的效率更高。理由如下：①由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟。因此第二种生产方式的效率更高；②由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟。因此第二种生产方式的效率更高；③由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高；④由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时
超过m 不超过m 间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，
因此第二种生产方式的效率更高；（以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分）
⑵由茎叶图知m?第一种生产方式 第二种生产方式 15 5 5 15 79?81?80，列联表如右表； 2240?15?15?5?5?⑶由于K2??10?6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异。
20?20?20?2019．解：⑴由题知，平面MCD?平面ABCD，交线为CD。因BC?CD，BC?平面ABCD，故
BC?平面MCD，因此BC?DM。因M为CD上异于C,D的点，且CD为直径，故DM?CM。又
BCCM?C，所以DM?平面BMC。而DM?平面AMD，故平面AMD?平面BMC；
⑵以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系D?xyz。当三棱锥M?ABC体积最大时，M为
CD的中点。由题D?0,0,0?，A?2,0,0?，B?2,2,0?，C?0,2,0?，
M?0,1,1?，AM???2,1,1?，AB??0,2,0?，DA??2,0,0?。设
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???2x?y?z?0?n?AB?0n??x,y,z?是平面MAB的法向量，则?，即?，可取n??1,0,2?。DA是平
?2y?0??n?AM?0面MCD的法向量，因此cosn,DA?n?DA525?，sinn,DA?，所以面MAB与面MCD所5|n||DA|5成二面角的正弦值为255。
22x12y12x2y2y?y??1，??1。两式相减，并由k?12得20．解：⑴设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则4343x1?x2x1?x2y1?y2x?xy?y2331??k?0。由题12?1，1?m，故k??。由题知0?m?，故k??； 43224m22⑵由题意得F?1,0?，设P?x3,y3?，则?x3?1,y3???x1?1,y1???x2?1,y2???0,0?。由⑴及题设得又点P在C上，故m?x3?3??x1?x2??1，y3???y1?y2???2m?0。
221233|FP|?。，从而P?1,?32?，
24?x12?x2x1|FB|?2??2?于是|FA|??x1?1??y??x1?1??3?1?，同理。所以|FA|?|FB|? ?242??x1?x2?3?2|FP|，因此|FA|,|FP|,|FB|成等差数列。设该数列的公差为d，则 2|x?x|11332|d|?|FA|?|FB|?12??x1?x2??4x1x2。因m?，故k????1，于是l的方程为
2444m44?711321y??x?，代入C的方程并整理得7x2?14x??0，故x1?x2?2，x1x2?。所以|d|?，
442828从而该数列的公差为32128或?32128。
21．解：⑴当a?0时，f?x???2?x?ln?1?x??2x，f??x??ln?1?x??则g??x??x。设g?x??f??x?，1?xx?1?x?2。当?1?x?0时g??x??0，当x?0时g??x??0。故当x??1时，g?x??g?0??0，
且仅当x?0时，g?x??0。从而f??x??0，且仅当x?0时，f??x??0，所以f?x?在??1,???单调递增。又f?0??0，故当?1?x?0时f?x??0，当x?0时f?x??0；
⑵①若a?0，由⑴知，当x?0时f?x???2?x?ln?1?x??2x?0?f?0?，这与x?0是f?x?的
?f?x?2x1???|x|?min1,?ln1?x?极大值点矛盾；②若a?0，设h?x??，由于????时，
|a|2?x?ax22?x?ax2????2?x?ax2?0，故h?x?与f?x?符号相同。又h?0??f?0??0，故x?0是f?x?的极大值点当且仅当
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2?2?x?ax2??2x?1?2ax?x2?a2x2?4ax?6a?1?1x?0是h?x?的极大值点。h'?x??，若??22221?x?1?x??2?x?ax??2?x?ax?6a?1?0，则当0?x???6a?11???|x|?min1,且??时，h'?x??0，故x?0不是h?x?的极大值点；
4a?|a|???????1??h'?x??0，?时，
|a|??2若6a?1?0，则ax?4ax?6a?1?0存在根x1?0，当x1?x?0且|x|?min?1,22故x?0不是h?x?的极大值点；若6a?1?0，则h'?x??x3?x?24??x?1??x2?6x?12?，当?1?x?0时
h'?x??0，当0?x?1时h'?x??0。所以x?0是h?x?的极大值点，从而x?0是f?x?的极大值点。综
上知a??16。
22．解：⑴
O的直角坐标方程为x2?y2?1。当???2时，l与O交于两点；当???2时，记
tan??k，则l的方程为y?kx?2。l与O交于两点当且仅当21?k2?1，解得k??1或k?1，即
????4,?2?或????2,3?4?。综上????4,3?4?；
??3??x?tcos?l⑵的参数方程为?（t为参数，???），设A,B,P对应的参数分别为
44y??2?tsin???tA,tB,tP，则tP?tA?tB2，且tA,tB满足t?22tsin??1?0。于是tA?tB?22sin?，tP?2sin?。2?2x?sin2????x?tPcos??2又点P的坐标?x,y?满足?，故点P的轨迹的参数方程是?（?为
y??2?tsin???P?y??2?2cos2???22参数，?4???3?4）。
??3x?x??12??23．解：⑴f?x???x?2??12?x?1?，故y?f?x?的图像如图；
??x?1??3x⑵由⑴知，y?f?x?的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a?3且b?2时，f?x??ax?b在
x??0,???成立，因此a?b的最小值为5。
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