2018年中山一中高三年级入门考试
高三数学（理科）
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。 1．已知集合M?xy?x?1，N??xy?log2?2?x??，则CR?MIN??
A．???,1?U?2,??? C．???,0?U?2,??? ?1,2? B．?0,1? D．2．设复数z满足?1?i?z?1?i（i为虚数单位），则z? A．1?i B．1?i C．2222?i D．?i 2222??3．若一条直线与一个平面成72°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于
A．72° B．90° C．108° D．180° 4．夏季运动会上，铁饼项目运动员往一矩形区域进行扔饼训练，该矩形长为6，宽为4，铁
饼是半径为1的圆，该运动员总能将铁饼圆心仍在矩形区域内，则该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为 A．
? 24? B．
1 4 C．
1 3 D．
? 82sin2??sin2?1?5．已知tan(??)?，且????0，则等于
?422cos(??)4A．?25 5 B．?35 10 C．?310 10 D．255
6． 已知Sn是等差数列?an?的前n项和，且S3?2a1，则下列结论错误的是
A． a4?0 B． S4?S3 C． S7?0 D． ?an?是递减数列
E为棱BB1的中点（如图）7．正方体ABCD?A，用过点A,E,C1的平面截去该正1BC11D1中
方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为
8． 在?ABC中，B??2,0?,C?2,0?,A?x,y?,给出?ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
条件 ① ?ABC周长为10 ②?ABC面积为10 ③?ABC中，?A?90 ?方程 C1:y2?25 C2:x2?y2?4?y?0? x2y2C3:??1?y?0? 95则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为
A．C1,C2,C3 B．C3,C1,C2 C．C3,C2,C1 D．C1,C3,C2 9．右图是求样本x1,x2,?,x10平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为
A．S?S?xnx B．S?S?n C．S?S?n D．S?S?xn 10n?x?0x?2y?3?10．已知实数x,y满足?y?0，则的取值范围是
x?1?4x?3y?12?A．?,11? B．?,11? C．[3，11] D．[1，11]
?2?3???3?2??x2y211．如图，F1、F2是双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点，过F1的直
ab线l与C的左、右两支分别交于点A、B．若?ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为
A．7 B．3 C．23 D．4 312．设等差数列?an?的前n项和为Sn，已知(a5?1)3?3a5?4,(a8?1)3?3a8?2，则下列选项正确的是
A．S12?12,a5?a8 B．S12?24,a5?a8 C．S12?12,a5?a8 D．S12?24,a5?a8
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题 共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位
置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
?????????13．不共线向量a，b满足a?b，且a?a?2b，则a与b的夹角为 ．
??14．函数f(x)?3cos(3x??)?sin(3x??)是奇函数，则tan?等于______．
10515．若x?x?a0?a1?x?1??a2?x?1????a10?x?1?，则a5? ．
210y16． 在如图所示的直角坐标系xOy中，AC⊥OB，OA⊥AB，|OB| = 3，点C是OB上靠k近O点的三等分点，若y?(x?0)函数的图象（图中未画出）与△OAB的边界至少
xOACBx有2个交点，则实数k的取值范围是 ．
三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～23为选做题，
共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。
17．(本小题满分12分)
如图，在锐角三角形ABC中，D为边AC的中点，且BC?2BD?22，3O为?ABC外接圆的圆心，且cos?AOC??．
4（1） 求?ABC的余弦值； （2） 求?ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，
AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
（1）证明：BE⊥DC；
（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
19．(本小题满分12分)
某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现
1故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．
3 （1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？
（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．
20．（本小题满分12分）
已知动圆M过定点E?2,0?，且在y轴上截得的弦PQ的长为4． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
uuruuurS的最 (2)设A，B是轨迹C上的两点，且OA?OB??4，F?1,0?，记S?S?OFA?S?OAB，求
小值．
21．（本小题满分12分）
设函数f?x??ln?x?1??ax2?x?1，g?x???x?1?ex?ax2，a?R． （1）若函数g?x?有两个零点，试求a的取值范围； （2）证明f?x??g?x?．
请考生在22，23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。 22．（本小题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角
坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为2?cos(???4)?1?0，曲线C的参数方程是
?x?4t2（t为参数）． ??y?4t（1）求直线l和曲线C的普通方程； （2）设直线l和曲线C交于A,B两点，求
11． ?MAMB
23．（本小题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】
已知关于x的不等式x?1?x?3?m的解集不是空集，记m的最小值为t． （1）求t的值；
（2）若不等式x?1?x?3＞x?a的解集包含??1,0? ，求实数a的取值范围．