2018年中山一中高三年级入门考试
1—5 BDBCA 6—10 DCBAB 11—12 AA 13．
16．[0,92) 8? 14．?3 15． 251 317． 解：（1）由圆的性质，?AOC?2?ABC， ????????????????1分
又?cos?AOC??分
（2）过点C作CE//BA，与BD的延长线交于点E，连接AE．
?D为AC的中点，?D为BE的中点，且四边形ABCE为平行四边形． ?cos?BCE??cos?ABC??332?2cos2?ABC?1??，， 解得cos?ABC?． ???54442． ????7分 42， 4 在?BCE中，BC?22，BE?2BD?4，cos?BCE??222 由余弦定理，得BE?BC?CE?2?BC?CE?cos?BCE， 解得CE?2．?AB?2． ?????9分 ?cos?ABC?214，?sin?ABC?， ??????10分 44 ?S?ABC?114?2?22??7． ????12分 2418．解: (1)以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2)
????????由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，故BE?(0,1,1)，DC?(2,0,0)
所
以
→
BE·
→
DC＝0，所以
BE⊥DC. ??????????4分
????????????????(2) BC?(1,2,0)，CP?(?2,?2,2)，AC?(2,2,0)，AB?(1,0,0)
→→
由点F在棱PC上，设CF＝λCP，0???1， →→→→→
故BF＝BC＋CF＝BC＋λCP＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
3→→
由BF⊥AC，得BF·AC＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，
4→?113?
即BF＝?－，，? ??????????8分
?222?
??设n1?(x,y,z)为平面FAB的法向量，
???????x?0?n?AB?0??1则??????,即?1 ?13?x?y?z?0???n1?BF?0?222?? 不妨令z＝1，可得n1?(0,?3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量???n2?(0,1,0)，
则cos〈n1，n2〉＝
n1·n2－3310
＝＝－.
|n1|·|n2|1010×1
易知，二面角F?AB?P是锐角，所以余弦值为310?????????12分 1019．解：(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为
1事件A，则事件A的概率为．该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故
316?1?0?2??障的机器台数为X，则X:B?4,?，故 P?X?0??C4，???3??3?811?2?32P?X?1??C?????，
3?3?8114342428?1??2?3?1?P?X?2??C???????????， ，P?X?3??C481?3??3??3?38124223即X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 P 16 8132 8124 818 811 81设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，即X?0，X?1，X?2，?，X?n，这n?1个互斥事件的和事件，则
n P?X≤n? 0 1 2 3 4 16 8148 8172 8180 811 ∵
7280≤90%≤，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能8181及时进行维修的概率不少于
90%． ?????????6分
(2)设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18，13，8， P?Y?18??P?X?0??P?X?1??P?X?2??72， 81P?Y?13??P?X?3??即Y的分布列为：
81， P?Y?8??P?X?4??． 8181Y P 则
18 13 8 72 818 811 81E?Y??18?72811408． 故该厂获利的均值为?13??8??818181811408．????????12分 8120．解：(1)设M?x,y?，PQ的中点N，连MN，则：PN?2，MN?PQ， ∴MN?PN?PM， 又PM?EM, ∴MN?PN?EM， ∴
222222x2?4??x?2??y2，整理得
y2?4x. ?????????5分
?y12??y22?11,y1?，B?,y2?，不失一般性，令y1?0，则S△OFA??OF?y1?y1， (2)设A? 4422????uuruuury12y22?y1y2??4,解得y1y2??8① ∵OA?OB??4, ∴16y2?y1y12 直线AB的方程为：y?y1?2(x?)，?y1??y2?, 2y2y4?144y12?4? 即y?y1??x??，令y?0得x?2，即直线AB恒过定点E?2,0?，
y1?y2?4? 当y1??y2时，AB?x轴，A2,22，B2,?22．直线AB也经过点E?2,0?. ∴S△OAB?81OE?y1?y2?y1?y2.由①可得S△OAB?y1?,
y12???? ∴S??818?3y1??y1???y1?≥212?43. y12y1?2? 当且仅当分
3843y1?，即y1?时，Smin?43. ?????????122y1321．解：（1）函数g?x?的定义域为R，由已知得g??x??xex?2a． ?????????1分
①当a?0时，函数g?x???x?1?ex只有一个零点； ?????????2分
②当a?0，因为ex?2a?0， 当x????,0?时，g??x??0；当x??0,???时，g??x??0． 所以函数g?x?在???,0?上单调递减，在?0,???上单调递增．又g?0???1，g?1??a， 因为x?0，所以x?1?0，ex?1所以ex?x?1??x?1， 所以g?x??ax2?x?1，取x0??1?1?4a，显然x0?0且g?x0??0
2a??所以g?0?g?1??0，g?x0?g?0??0．
由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点． ?????????4
分
③当a?0时，由g??x??xex?2a?0，得x?0或x?1n??2a?．
??1i)当a??，则1n??2a??0．当x变化时，g??x?，g?x?变化情况如下表：
2x g?(x) g(x) (??,0) 0 (0,ln(?2a)) ln(?2a) (ln(?2a),??) － 0 ? ? 0 －1 ? ? ? 注意到g?0???1，所以函数g?x?至多有一个零点，不符合题意．
1ii)当a??，则1n??2a??0，g?x?在???,???单调递增，函数g?x?至多有一个零点，
2不符合题意．
1 iii)若a??，则1n??2a??0．当x变化时，g??x?，g?x?变化情况如下表：
2x (??,ln(?2a)) ln(?2a) (ln(?2a),0) 0 (0,??) g?(x) ? ? 0 － 0 －1 ? ? g(x) ? 注意到当x?0，a?0时，g?x???x?1?ex?ax2?0，g?0???1， 所以函数g?x?至多有一个零点，不符合题意．
综
上
，
a的取值范围是
?0,???． ???????7分
（2）证明：g?x??f?x???x?1?ex?1n?x?1??x?1．
设h?x???x?1?ex?1n?x?1??x?1，其定义域为?1,???，则证明h?x??0即可． 因为ht?x??xex?x1???3?x?ex??，取x1?1?e，则 x?1x?1?? ht?x1??x1ex1?e3?0，且ht?2??0．
又因为htt?x???x?1?ex?1?0，所以函数ht?x?在?1,???上单增．
1． x0?1???x?1?2所以ht?x??0有唯一的实根x0??1,2?，且ex0?当1?x?x0时，ht?x??0；当x?x0时，ht?x??0．所以函数h?x?的最小值为
h?x0?．
所以h?x??h?x0???x0?1?ex0?1n?x0?1??x0?1?1?x0?x0?1?0．
所以f?x??g?x?． ???????12分
22．解：（1）因为2?cos(???4)?1?0，所以?cos???sin??1?0
?x?4t2，2由x??cos?,y??sin?，得x?y?1?0，因为?消去t得y?4x
?y?4t， 所以直线l和曲线C的普通方程分别为x?y?1?0和y?4x． ???5分
2?2x?1?t，??2（2）点M的直角坐标为(1,0)，点M在直线l上，设直线l的参数方程：??y?2t，??2