2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题
1、两个子空间的直和
例：设V1和V2分别是齐次方程组x1?x2?...?xn?0和x1?x2?...?xn的解空间，证明V?V1?V2。
证明：因方程组x1?x2?...?xn?0和x1?x2?...?xn，只有零解，故V1?V2??0?，从而V1?V2=V1?V2，且V1?V2是V的子空间，即V1?V2≤V。 又V1的维数是n-1，V2的维数是1
故V1?V2的维数是n维，所以V1?V2?V。
注：任给一个V的子空间V1，可以找到子空间V2使得：V?V1?V2
此式称为V的一个直和分解，V1，V2称为互补空间
2、 线性空间中线性变换的象空间与核
例题1:证明：线性空间V的线性变换T的象空间和核都是V的子空间 证明：
因为V非空，所以T(V非空)?x,y?V,???Px,?y?V?,x?VTx?Ty?T(x?y)?TV()?Tx?T(?x)?TV()
故是T(V)是V的线性子空间因为所以非空因为0?keTr(所以)kTe非空r()Ty0?,0?x,y?keTr(?)?,?P则Tx?
于是T(x?y)?Tx?Ty?0故,x?y?T(?x)??Tx故,?x?keTr()因此kerT(是)的线性子空间。VkTer()
例题2:线性空间V中的线性变化T的象空间和核的维数之和等于V的维数 dim(T(V))+dim(ker(T))=dim(V)
证明：设dim(V)=n dim(ker(T))=s 只需证明dim(T(V))=n-s即可
取ker(T)的一组基x1,x2,...,xs再添加n-s个向量
将这组向量扩充为V的一组基x1,x2,...,xs,ys?1,ys?2,...,ys?2,
对?x?Vx??1x1??x2?2...??sxs??s?ys1??...1??ynn 则Tx??1Tx1??Tx2?2...??sTxs??s?Ty1s??...1??Tyn
??s?1Tys?1?...??nTynT(V)?Span{Tys?1,Tys?1,...,Tys?1} 现在只需证明Tys?1,Tys?2,...,Tyn线性无关。
设ks?1Tys?1?ks?2Tys?2?...?knTyn?0 则：T(ks?1ys?1?ks?2ys?2?...?knyn)=0
故ks?1Tys?1?ks?2Tys?2?...?knTyn?ker(T)
于是ks?1ys?1?ks?2ys?2?...?knyn可由x1,x2,...,xs线性表示 即ks?1ys?1?ks?2ys?2?...?knyn?l1x1?l2x2?...?lsxs 故有l1x1?l2x2?...?lsxs?ks?1ys?1?ks?2ys?2?...?knyn?0 因x1,x2,...,xs,ys?1,...,yn是V的一组基，
所以l1?l2?...?ks?1?...?kn?0 因此Tys?1,Tys?2,...,Tyn线性无关
3、过渡矩阵 线性变换在给定基下的矩阵
n例题：已知?3中的线性变换T在基?1??-1,1,1?,?2??1,0,-1?,?3??0,1,1?
TTT?101???下的矩阵是?110?
??121???求T在基e1?(1,0,0)T,e2?(0,1,0)T,e3?(0,0,1)T下的矩阵。 解：设基?1,?2,?3到e1,e2,e3的过度矩阵为Q
则?e1,e2,e3????1,?2,?3?Q
?100???110?????即：?010???101?Q
?001??1?11???????110???11?1?????所以Q??101???01?1?
?1?11??101??????1 所以T在基e1,e2,e3下的矩阵B为
?1? B?Q?1?1??1?0121??0 ?Q?1???110??1?????101??1?1?11???1???
??11?2?????220??302???01??1???11???1??00?1?12??110????1
4、定理:内积空间中必存在标准正交基（施密特正交化）
例：设e1,e2,e3,e4,e5是?5中的一组标准正交基V?Span??1,?2,?3?
其中?1?e1?e5,?2?e1?e2?e4,?3?2e1?e2?e3 求V的一组标准正交基
解：设k1?1?k2?2?k3?3?0，即有
?k1?k2?2k3?e1??k2?k3?e2?k3e3?k2e4?k1e5?0
因为e1,e2,e3,e4,e5线性无关，故k1?k2?k3?0 因此?1,?2,?3线性无关，所以?1,?2,?3是V的一组基。 现将其化为标准正交基，首先将其正交化
?2,?1??3,?1??3,?2????取?1??1?e1?e5,?2??2??1,?3??3??1??2 ?,??,??,??11??11??22??2??e1?e2?e4???e1?e2?e4,e1?e5?e?e???e1?e5,e1?e5?15
11??e1?e2?e4??12?e1?e5?=2e1?e2?e4?2e512e1?e2?e3,12e1?e2?e3,e1?e5???2e1?e2?e4?2e5??3??2e1?e2?e3???e1?e5??111?2e1?e2?e4?1?e1?e5,e1?e5?2e5,2e1?e2?e4?2e5???2e1?e2?e3??22?e1?e5??e1?e2?e3?e5
再将其单位化
?1??2??3?
?1??1?2??2?3??3?1???1,?1??2???2,?2?12?e1?e5?110(e1?2e2?2e4?e5)
?3?12?e1?e2?e3?e5???3,?3?5、正交矩阵与酉矩阵的性质与判定
例1：设?是n维欧氏空间V中的单位向量，定义V中的变换T为
Tx?x?2??,x??。证明T为正交变换
证明：?x,y?V,????
T(x?y)?(?xy?)?2(?,x?y)?(x?y)?2?[(x,?)?(y?,)] ?[x?2?(x,?)?]y?[?2(y?,?)T]?x TyT(?x)??x?2?(?,x?)??x?2?(?,x?)??x[??2(x?,?)?]Tx 故T是V的线性变换
?x?VTx?(Tx,Tx)?x(??2(x?,x)?,?x2?(,))
2?(x,x)??x,?2(x?,??)?(x2?(x,?),?)x?(2?(x,?),2(,))2?(x,x)?2?(x,x?)(?,?)x2?(x,?)(?,x)?4?(,)(,2?(x,x)?2?(x,?)?2x(2?,?)x42(,)
)?(x,x)?x 故Tx22?x，所以T是正交变换
2例2证明：n阶的方阵A为酉矩阵的充要条件是对任何x??n都有Ax?x
证明：\?\（必要性） 注：酉矩阵AA?AA?E
n 若A是酉矩阵，则对?x??有Ax22HH?(Ax,Ax)?(Ax)H(Ax)
2 Ax?(xHAH)Ax?xH(AHA)x?xHEx?xHx?(x,x)?x
则Ax?x
\?\(充分性)
取?中的一组标准正交基
ne1?(1,0,...,0)T,e2?(0,1,...,0)T,...,en?(0,0,...,1)T,
则存在唯一的线性变换T，使得T在基e1,e2,...,en下的矩阵是A 即：T(e1,e2,...,en)?(e1,e2,...,en)A（证明T是正交变换）
?x??n,x?(x1,x2,...,xn)TT(e1,e2,...,en)x?(e1,e2,...,en)Ax?Tx?Ax又Ax?x,故Tx?x因此T是正交变换，从而A是酉矩阵。
6、矩阵A的约当标准形（初等因子和不变因子）
?2?1?1???例题：求矩阵A??2?1?2?都的约当标准形、不变因子、初等因子。
??112???解：
11??1??2????2?1??1?r3???E?A???2??12??r?????2??12??1???2?1??2?11???????200?1?1??1?????2?r1,r3?(??2)r12?c1,c3?(??2)c1?r??????0??12??2??c???????0??12??2??0??1??2?4??3??0??1??2?4??3?????00??1??3?r2,c3?2c2,(?1)c3?r???????0??10??00(??1)2??? 故A的不变因子是1，??1，(??1)2
初等因子是??1，???1?
2因??1对应的约当块?1?
?11?
?对应的约当块???1??01?? ??
2