?100??110?????故A的约当标准形为J??011?或J??010?
?001??001?????求约当标准形的步骤：
①写出A的特征矩阵?E?A ②求出?E?A的全部初等因子 ③写出每个初等因子对应的约当块 ④写出约当标准形
7、凯莱-哈密顿定理
?1?1?432例题：设A???25??，证明：B?2A?2A?19A?29A?36E
??为可逆矩阵并将B?1表示为A的多项式。
证明：A的特征多项式为f?????E?A?由凯莱-哈密顿定理得：
??1?21??2?6??7 ??5f?A??A2?6A?7E?0。{f?????E?A,则f?A??0}因2?4?12?3?19?2?29??36??2?2?5???2?6??7?????1??2?1?故B?2A?12A?19A?29A?36E??2A?5?f?A???A?E??A?E???。26??因为B?14?0,所以B可逆。4322将A?B?E代入f?A??A2?6A?7E?0中得：(B?E)2?6(B?E)?7E?B2?8B?14E?0?B2?8B??14E1?14B(B?8E)?E11故B?1??14(B?8E)??14(A?7E)
8、线性空间的范数
没有例子就把定义搬上了
定义：设V是数域P上的线性空间，如果对V中的任意向量V都有一个非负实数与之对应，记为x且满足下列的性质 1>正定性：当x?0时,x?0 2>齐次性：对???P,?x??x
3>三角不等式：?x,y?V,x?y?x?y
称为x的x范数并称定义了范数的线性空间为赋范空间
其他重要例题 例题1:
设x1,x2,...,xn是数域P上的线性空间V的一组向量，则由他们的所有线性组合构成的集合S???1x1??2x2?...??nxn|?i?P,i?1,2,...,n?是V的子空间。 证明：显然S非空，??P
2?2...?kxn?nS ???k1x1?kx ???l1x1?lx2?2...?lxn?nS
????(k1?l1)x1?(k2?l2)x2?...?(kn?ln)xn?S （(ki?li)?P）
???(?k1)x1?(?k2)x2?...?(?kn)xn?S
故S是V的子空间称S为由x1,x2,...,xn生成的子空间 记作S?Span?x1,x2,...,xn?
S?Span?x1,x2,...,xn?
①x1,x2,...,xn的一个最大线性无关组就是Span?x1,x2,...,xn?的一组基 ②Span?x1,x2,...,xn?的维数 = 秩(x1,x2,...,xn)
例题2:
在n维的向量空间?n中，对向量x?(?1,?2,...,?n)T,y?(?1,?2,...,?n)T 定义?x,y???1?1??2?2?...??n?n?yHx其中yH表示y的共轭转置 则?x,y?为?n中的内积
??1???1?????????y??2???2? yH??1,?2,...,?n ???????????n????n?????1????Hyx??1,?2,...,?n?2?
???????n???y,x????????验证：①
1122?...??n?n
????????????1?1??2?2?...??n?n?(x,y)②??x??y,z? 令z?(?1,?2,...,?n)T
?x??y????1???1,??2???,2...??,n???n?
??x??y,z?????1???1??1????2???2??2?...????n???n??n???1?1??2?2?...??n?n???1?1??2?2?...??n?n??(x,z)??(y,z)????
③?x,x???1?1??2?2?...??n?n
??1??2?...??n?0
222 且?x,x??0??1??2?...??n?0 ??1??2?...??n?x?0
222