参考答案
1．[－1，3] 2．120? 3．4 4．6．
2914 5．?154
7．相交或异面 8．45 9．8 10．1.75
11．－1 12．(??，?1)?(0，3) 13．11 14．(??，?24)?(24，??) 15．（1）由最低点为M(＝
?22?3，－2)得A＝2．由x轴上相邻两个交点之间的距离为＝2．由点M(
?22?3?2得
T2，即T＝?，?＝
4?32?T＝
4?32??，－2)在图象上得2sin(2?11?62?3??)＝－2，
即sin(??)＝－1．故??＝2k?－，k∈Z．所以?＝k?－．又0＜?＜
?2，
所以?＝
?6，故f(x)＝2sin(2x???6)．
（2）因为x∈[当2x?当2x??6???7?，]，所以(2x?)∈[，]． 122636?6＝＝
?26，即x＝时，f(x)取得最大值2； 时，f(x)取得最小值－1．
?67?，即x＝
?2故f(x)的值域为[－1，2]．
16．（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，DC∥AB， 所以EF∥DC，且EF＝DC＝
12AB．
故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF．
又ED?平面PBC，CF?平面PBC， 故DE∥平面PBC．
（2）因为PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PD．
又因为AB⊥AD，PD?AD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD．
ED?平面PAD，故ED⊥AB．又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA； PA?AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以ED⊥平面PAB． 17．10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向S处，仰角为45?的S点处，即∠SPQ＝
?4，所以PQ＝QS＝600v(m)．
又10分钟后测得气球在P的东偏北30?方向，其仰角为60?的T点处，即∠RPQ＝
?6，
∠TPR＝
?3，RT＝2QS＝1200v(m)，于是PR＝
RTtan?3＝4003v(m)．
在△PQR中由余弦定理，得QR＝PQ2?PR2?2PQ?PRcos?QPR＝2003v(m)． 因为PR2＝(4003v)2＝(600v)2＋(2003v)2＝PQ2＋QR2．所以∠PQR＝
?2，即风向
为正南风．
因为气球从S点到T点经历10分钟，即600s，所以风速为
|QR|600＝3v3(m/s)．
18．（1）设圆心
?a?2b?2??2?0，??a?0，?22C(a，b)，则?解得?
b?2b?0.???1.??a?2则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入，得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2．
（2）设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且PQ?MQ＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2?????????＋x＋y－4＝x＋y－2，所以PQ?MQ的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．
?????????（3）由题意，知直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设
PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)． 由??y?1?k(x?1)，?x?y?2，22得(1?k2)x2＋2k(1－k)x＋(1?k)2－2＝0．
k?2k?11?k22因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xA＝
k?2k?11?k22，同理xB＝
．所以kAB＝
yB?yAxB?xA＝
?k(xB?1)?k(xA?1)xB?xA＝
2k?k(xB?xA)xB?xA＝1＝kOP．
所以直线OP和AB一定平行．
19．（1）因为n＝1时，a1＋S1＝a1＋a1＝2，所以a1＝1． 因为Sn＝2－an，即an＋Sn＝2，所以an?1＋Sn?1＝2．
两式相减：an?1－an＋Sn?1－Sn＝0，即an?1－an＋an?1＝0，故有2an?1＝an． 因为an≠0，所以
an?1an＝
12( n∈N?)．
所以数列?an?是首项a1＝1，公比为
1?1?的等比数列，an＝??2?2?n?1( n∈N?)．
?1?（2）因为bn?1＝bn＋an( n＝1，2，3，?)，所以bn?1－bn＝???2?n?1．从而有
b2?b1＝1，b3?b2＝
1?1?，b4?b3＝??2?2?2?1?，?，bn?bn?1＝???2?n?2( n＝2，3，?)．
将这n－1个等式相加，得
?1?1???2n?21?1??1??2?＝bn－b1＝1＋＋??＋?＋??12?2??2?1?2?1?又因为b1＝1，所以bn＝3－2???2?n?1n?1n?1?1?＝2－2???2?．
( n＝1，2，3，?)．
?1?（3）因为cn＝n (3－bn)＝2n???2?02n?1，
??1??1??1??1?所以Tn＝2????2???3?????(n?1)???2??2??2????2?n?2?1??n???2?nn?1????． ①
1??1??1??1??1?2Tn＝????2???3?????(n?1)??2?2??2??2???2??123n?1?1???n???． ② ?2???n??1??－2n??．
?2???①－②，得
1??1??1??1??1?Tn＝2??????????????2?2??2??2????2?nn02n?1?1?1???2故Tn＝4??11?2?1?－4n???2??1?＝8－n－4n??2?2?8n＝8－(8?4n)12n( n＝1，2，3，?)．
20．（1）若f(x)＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有f(kx)＝akx＋b＝
k2?k?1?0，?k?0，k2＋f(x)，即a(k－1)x＝
k2恒成立，得?无解，所以f(x)?M．
（2）log2(kx)＝
log2x∈M．
＋log2x，则log2k＝
k2，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以f(x)＝
（3）因为y＝logax( a＞1)与y＝x有交点，由图象知，y＝logax与y＝设logak＝
k2x2必有交点．
，则f(kx)＝loga(kx)＝logak＋logax＝
k2＋f(x)，所以f(x)∈M．
附加题部分
21．【选做题】
A．（选修4-l：几何证明选讲）
连接BC设AB,CD相交于点E，AE?x，∵AB是线段CD的垂直平分线，
∴AB是圆的直径，∠ACB＝90°?????????2分
CBEDA则EB?6?x，CE?5．由射影定理得CE2?AE?EB， 即有x(6?x)?5，解得x?1（舍）或x?5 ????8分 ∴ AC2?AE?AB?5?6?30，即AC?30．???10分 B．（选修4—2：矩阵与变换） 设矩阵A???a?cb??，这里a,b,c,d?R， d?因为??是矩阵A的属于?1?1的特征向量，则有??1???c①， ???4分
又因为??是矩阵A的属于?2?2的特征向量，则有??0???c②， ???6分
?1?a?b?0,???c?1?d?0,根据①②，则有??2?a?0,??c?0,??1??1??1?a?b??1??0??????? 1?d??1??0??2?a?b??1??0??????? 1?d??0??0? ???????????????????8分
从而a?2,b??1,c?0,d?1,因此A??C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
由
?y?sin??1??x?cos?2?2?1???01?，????????????10分
得
?y?1?sin???x?cos?，两式平方后相加得
x?(y?1)?1，?????????4分
2∴曲线C是以(0,1)为圆心，半径等于的圆．令x??cos?,y??sin?， 代入并整理得
??2sin?．即曲线C的极坐标方程是
??2sin?． ??????????10分
D．（选修4－5：不等式选讲） （1）当a?1时,得2x?1?1, 即x?1?112, 解得x?32或x?12,
分
∴不等式的解集为(??,3]?[,??)． ??????????????????522（2）∵ax?1?ax?a?a?1, ∴原不等式解集为R等价于a?1?1. ∴a?2,或a?0. ∵a?0，∴a?2. ∴实数a的取值范围为[2,??)． ????????????10分 22．[必做题]
311（1）若8种口味均不一样，有C8?56种；若其中两瓶口味一样，有C8C7?56种；
若三瓶口味一样，有8种。所以小明共有56?56?8?120种选择。 ???????4分 （2）?的取值为0，1，2，3.
C7?C7?6?7120712031P(??0)??841201120?710；P(??1)?C7?71202?28120?730；
P(??2)?；P(??3)?．
所以?的分布列为????????????????????????????8分
?
P
0
710?0?710?1?7301
7307120?3?1120?2
71203
1120
38
其数学期望E??2?． ??????????10分
23．[必做题] (1)取x?1，则a0?2n；取x?2，则a0?a1?a2?a3???an?3n， ∴Sn?a1?a2?a3???an?3n?2n； ????????????????4分 (2)要证Sn?(n?2)2n?2n2，只需证3n?(n?1)2n?2n2， 当n?4时，81?80；
假设当n?k(k?4)时，结论成立，即3k?(k?1)2k?2k2， 两边同乘以3 得：3k?1??3??(k?1)2?2k??k2k2k?1?2(k?1)?[(k?3)2?4k?4k?2]
2k2而(k?3)2k?4k2?4k?2?(k?3)2k?4(k2?k?2)?6?(k?3)2k?4(k?2)(k?1)?6?0 ∴3k?1?((k?1)?1)2k?1?2(k?1)2，即n?k?1时结论也成立， ∴当n?4时，3n?(n?1)2n?2n2成立.
综上原不等式获证. ??????????????????????????10分