当n≥2时，Sn?12(an?1)(an?2)， S1n?1?2(an?1?1)(an?1?2)，
两式相减得：(an?an?1)(an?an?1?1)?0， ???????? 又因为an＞0，所以an?an?1＞0，所以an?an?1?1，
所以an?n?1； ?????? 2）T2n??a1a2?a2a3?a3a4?a4a5?a5a6???a2n?3a2n?1?a2n?1a2n?a2na2n?1 ?2(a2?a4?…?a2n)， ??????? 又a2，a4，…，a2n是首项为3，公差为2的等差数列， 所以a?2n?1)2?a4?…?an(32n?2?n2?2n，
故T2n?2n2?4n． ???? 18）（Ⅰ）15天中空气质量达到一级的有5天，
则恰有一天空气质量达到一级的概率P?C1C2510C3?45??????? 1591（Ⅱ）15天中空气质量超标的天数为5天，???0,1,2,3
312P(??0)?C1024C5C1045C3?91 P(??1)?C3? 151591P(??2)?C2135C10C3?2091 P(??3)?C52C3?????? 151591?分布列为 ? 0 1 2 3 P 2491 4591 20291 91 ?E??0?2491?1?4591?2?20291?3?91?1?????????
19）解：【法一】（I）证明：如图，取PC的中点O，连接OF,OE．
由已知得OF//DC且OF?12DC， 6
（ （（ 又?E是AB的中点，则OF//AE且OF?AE，
?AEOF是平行四边形，
∴AF//OE
又?OE?平面PEC，AF?平面PEC ?AF//平面PEC
（II）如图，作AM?CE交CE的延长线于M.
连接PM，易证得得PM?CE，
??PMA是二面角P?EC?D的平面角．即??PMA?45o
?PA?1?AM?1，设AE?x，
由?AME??CBE可得x?(2?x)2?1?x?5 4故，要使要使二面角P?EC?D的大小为45，只需AE?o5 4【法二】（I）由已知，AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A?xyz．
z????1111P则A(0,0,0)，F(0,,)，则AF?(0,,) ··················· 2?
2222?E(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,1)， F??设平面PEC的法向量为m?(x,y,z)
DAEyCBx????????m?EC?0?x?y?0则??????， ?????m?EP?0??x?z?0??令x?1得m?(1,?1,1)?????????????
????????????11由AF?m?(0,,)?(1,?1,1)?0，得AF?m
22又AF?平面PEC，故AF//平面PEC
????（II）由已知可得平面DEC的一个法向量为AP?(0,0,1)，
??设E?(t,0,0)，设平面PEC的法向量为m?(x,y,z)
??????????m?EC?0?(2?t)x?y?0则??????，令x?1得m?(1,t?2,t) ????tx?z?0??m?EP?0??????AP?n5o??|?t?， 由cos45?|???4|AP|?|n|
7
故，要使要使二面角P?EC?D的大小为45，只需AE?
（20）解：(1)由椭圆定义知，
2222o5 4?4??1??4??1?2a＝|PF1|＋|PF2|＝??1???????1?????22，
?3??3??3??3?所以a?2. 又由已知，c＝1.
c12??. a22x22
(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y＝1.
2所以椭圆C的离心率e?设点Q的坐标为(x，y)．
(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为
?35?0,2?. ????5??(2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，
222222
则|AM|＝(1＋k)x1，|AN|＝(1＋k)x2.
22222
又|AQ|＝x＋(y－2)＝(1＋k)x. 由
211，得 ??222|AQ||AM||AN|211??， 222222?1?k?x?1?k?x1?1?k?x2?x1?x2?2?2x1x2211即2?2?2?.① xx1x2x12x22x22将y＝kx＋2代入＋y＝1中，得
2(2k＋1)x＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)－4×(2k＋1)×6＞0，得k＞由②可知，x1＋x2＝
2
2
2
2
2
3. 2?8k6，x， 1x2＝
2k2?12k2?1182代入①中并化简，得x?.③ 210k?3因为点Q在直线y＝kx＋2上，
y?222
，代入③中并化简，得10(y－2)－3x＝18. x?6??6?3322
,00,由③及k＞，可知0＜x＜，即x∈??∪. ???????22?2??2?所以k? 8
又?0,2?故x∈?????35?22
满足10(y－2)－3x＝18， ?5??66?,. ??22????由题意，Q(x，y)在椭圆C内， 所以－1≤y≤1.
又由10(y－2)＝18＋3x有(y－2)∈?,?且－1≤y≤1， 则y∈?2
2
2
?99??54??135?,2??. ?25??2
2
?166?35?,,2?，y∈???. ?222?5???2 (21)解：解：（I）当a?1时,f(x)?x?1?2lnx,则f?(x)?1?, ????2分
x所以，点Q的轨迹方程为10(y－2)－3x＝18，其中x∈??由f?(x)?0,得x?2;由f?(x)?0,得0?x?2.
????3分
???故f(x)的单调减区间为?0,2?,单调增区间为?2,???. ????4分
121∴对任意的x?(0,),f(x)?0恒成立，或者f(x)?0恒成立，
21因为f(x)?0在区间(0,)上恒成立不可能，
212lnx 所以对x?(0,),a?2?恒成立. ??6分
2x?12lnx1令l(x)?2?,x?(0,),
x?12 （II）∵函数f(x)在(0,)上无零点，
22(x?1)?2lnx2lnx??2x则l?(x)??x?, 22(x?1)(x?1)21?2,x?(0,),x2
22?2(1?x)则m?(x)??2???0,xxx2再令m(x)?2lnx?????7分
11故m(x)在(0,)上为减函数,于是m(x)?m()?2?2ln2?0,22????9分
1所以l?(x)?0,故l(x)在(0,)上为增函数,2
9
1所以l(x)?l()?2?4ln2,2 2lnx故要使a?2?恒成立,只要a??2?4ln2,???,x?1综上，若函数f(x)在(0,)上无零点, 则a的最小值为2?4ln2.????11分 （III）g?(x)?e1?x12?xe1?x?(1?x)e1?x,
当x?(0,1)时,g?(x)?0,函数g(x)单调递增;当x??1,e?时,g?(x)?0,函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e?e1?e?0,所以，函数g(x)在?0,e?上的值域为?0,1?.
????12分
当a?2时,不合题意;
当a?2时,f?(x)?2?a?当x?故0?2(2?a)x?2??xx(2?a)(x?x2)2?a,x??0,e?
2时,f?(x)?0.由题意得,f(x)在?0,e?上不单调,2?a22?e,即a?2? ① 2?ae????14分
此时，当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下：
x (0,2) 2?a— 2 2?a0 最小值 ?2? ,e??2?a??+ f?(x) f(x) 又因为当x?0时,f(x)???,f(22)?a?2ln,f(e)?(2?a)(e?1)?2,所以,当且仅当a满足下列条件:2?a2?a22??f()?0,a?2ln?0?????即? ?2?a 2?a???f(e)?1,?(2?a)(e?1)?2?1??经验证②对任意a?(??,2?)恒成立.
2e
10
由③式解得：a?2?3. ④ e?1??????16分
综合①④可知，当a????,2?3?时,对任意给定的x0??0,e?, ?e?1?在?0,e?上总存在两个不同的xi(i?1,2),使f(xi)?g(x0)立????18分
11