2019届高三试题
因为“a?1”是“A?b?1?1B??”的充分条件，所以? ，?2?b?2．
b?1??1?故填??2,2?．
?1?14．不等式???2?x2?3?2?2x的解集是__________．
【答案】???,?1??3,???
2【解析】原不等式可以化为23?x?2?2x，所以x2?2x?3?0，故x??1或者x?3， 不等式的解集为???,?1??3,???，故填???,?1??3,???．
?x?a,x?215．若函数f?x???的值域为R，则a的取值范围是__________．
logx,x?2?43【答案】a??
21?1?【解析】∵f?x??log4x，在x?2的值域?,???，要使值域为R，x?a最大值必须大于等于，
2?2?即满足2?a?133，解得：??a．故答案为a??． 22216．设函数f?x??x3?3x2?ax?5?a，若存在唯一的正整数x0，使得f?x0??0，则a的取值范围是____________． ?15?【答案】?,?
?34?【解析】设g?x??x3?3x2?5，h?x??a?x?1?，则g??x??3x2?6x?3x?x?2?， ?当0?x?2时，g??x??0，当x?0或x?2时，g??x??0，
?g?x?在???,0?，?2,???上单调递增，在?0,2?上单调递减， ?当x?2时，g?x?取得极小值g?2??1，
作出g?x?与h?x?的函数图象如图：
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显然当a?0时，g?x??h?x?在?0,???上恒成立，即f?x??g?x??h?x??0无正整数解，要使存在唯一的正整数x0，使得f?x0??0，显然x0?2，
?g?1??h?1??3?2a?15??15???g?2??h?2?，即??1?3a，解得?a?．故答案为?,?．
34?34??5?4a???g?3??h?3?
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
?1???1??17．（10分）已知集合A??x?2x?128 ?，B??yy?log2x,x??,32??．
?8???4??（1）若C??xm?1?x?2m?1?，C??AB?，求实数m的取值范围； （2）若D??xx?6m?1?，且?A【答案】（1）m?3；（2）m?1．
【解析】（1）A??x?2?x?7?，B??y|?3?y?5?AB??x?2?x?5?， ①若C??，则m?1?2m?1，∴m?2；
?m?1?2m?1?②若C??，则?m?1??2∴2?m?3；综上m?3．
?2m?1?5?B?D??，求实数m的取值范围．
（2）A
B??x|?3?x?7?，∴6m?1?7，∴m?1．
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18．（12分）设p：实数x满足?x?3a??x?a??0，q：实数x满足（1）当a?1时，若p?q为真，求实数x的取值范围；
（2）当a?0时，若p是?q的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）???,?3?（2）??2,?1?． ??2,???；
x?3?0． x?2【解析】（1）当a?1时，p：1?x?3，q：x??3或x??2． 因为p?q为真，所以p，q中至少有一个真命题． 所以1?x?3或x??3或x??2，所以x??3或x??2， 所以实数x的取值范围是???,?3???2,???．
x?3?0得：q：x??3或x??2， x?2（2）当a?0时，p：3a?x?a，由所以?q：?3?x??2，
因为p是?q的必要条件，所以?x?3?x??2???x3a?x?a?， ?3a??3所以?，解得?2?a??1，所以实数a的取值范围是??2,?1?．
a??2?19．（12分）计算：（1）3??4?3??1??1?????0.252???； 2???2?01?41（2）lg25?lg2?lg0.1?log29?log32．
21【答案】（1）?3；（2）?．
21【解析】（1）原式??4?1??2??24??3．
2（2）原式?1lg252?lg2?lg10?121??1log3?log23?log32?lg?252?2?102??23?log32
??log32???3lg102?2?31?2??． 22a的定义域为?0,1??a?R?． x20．（12分）函数f?x??2x?（1）当a??1时，求函数y?f?x?的值域；
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（2）若函数y?f?x?在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（3）求函数y?f?x?在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值． 22,??；【答案】（1）?（2）???,?2?；（3）见解析． ??【解析】（1）函数y?f?x?=2x?122,??． ?22，所以函数y?f?x?的值域为??x?（2）若函数y?f?x?在定义域上是减函数，则任取x1，x2??0,1?且x1?x2都有f?x1??f?x2?成立，?a+2x1x2即?x1?x2???x1x2???0，只要a??2x1x2即可，由x1，x2??0,1?，故?2x1x2???2,0?，所以a??2，?故a的取值范围是???,?2?；
（3）当a?0时，函数y?f?x?在?0,1?上单调增，无最小值，当x?1时取得最大值2?a；由（2）得当a??2时，y?f?x?在?0,1?上单调减，无最大值，当x?1时取得最小值2?a；当?2?a?0时，
??2a函数y?f?x?在?0,?2???上单调减， ????2a??2a在?时取得最小值2?2a． ,1?上单调增，无最大值，当x?22????21．（12分）已知函数f?x??x2?alnx．
（1）若函数f?x?在点?3,f?3??处切线的斜率为4，求实数a的值； （2）求函数f?x?的单调区间；
?a2?a（3）若函数g?x???1??lnx?f?x??2x在?1,4?上是减函数，求实数a的取值范围．
2?2???2a?2a?0,,??【答案】（1）6；（2）单调递减区间是?，单调递增区间是??????2?； 2?????7?（3）??,???．
?16?【解析】（1）f??x??2x?aa，而f??3??4，即2?3??4，解得a?6． x39
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（2）函数f?x?的定义域为?0,???．
①当a?0时，f??x??0，f?x?的单调递增区间为?0,???； ?2a??2a?2x?x?????????22a2x2?a????． ?②当a?0时，f??x??2x??xxx当x变化时，f??x?，f?x?的变化情况如下：
??2a?2a?由此可知，函数f?x?的单调递减区间是?，单调递增区间是0,,????????2?． 2????1ax2?2x?112（3）g?x??lnx?ax?2x，于是g??x???ax?2??．
xx2因为函数g?x?在?1,4?上是减函数，所以g??x??0在?1,4?上恒成立， ax2?2x?1?0在?1,4?上恒成立． 即
x又因为函数g?x?的定义域为?0,???，所以有ax2?2x?1?0在?1,4?上恒成立．
1211122，设，则，所以有，a?t?2t?t?1?1?t??x?1?x?1， ??2x44xx172当t?时，?t?1??1有最大值?，于是要使g?x??0在?1,4?上恒成立，
1647?7?只需a??，即实数a的取值范围是??,???．
16?16?于是有a?22．（12分）设函数f?x??x4?ax3?2x2?b?x?R?，其中a，b?R． （1）当a??10时，讨论函数f?x?的单调性； 3（2）若函数f?x?仅在x?0处有极值，求a的取值范围；
（3）若对于任意的a???2,2?，不等式f?x??1在??1,1?上恒成立，求b的取值范围．
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