习题4．1
1. 解（1）由(0,0,?,0,0)?V1知，Ｖ１非空．
设??(x1,0,?,0,xn)?V1，??(y1,0,?,0,yn)?V1，k?R 则有， ????(x1?y1,0,?,0,xn?yn)?V1，k??(kx1,0,?,0,kxn)?V1，
向量的加法，数乘满足运算规则（１）－（８）,故Ｖ１是线性空间． （２）由(0,0,?,0,0)?V2知，Ｖ２非空．
设??(x1,x2,?,xn)?V2，??(y1,y2,?,yn)?V2，则有，
x1?x2???xn?0，y1?y2???yn?0．
因为, (x1?y1)?(x2?y2)??(xn?yn)?
(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0
所以????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)?V2；
对k?R 则有kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0， 所以，k??(kx1,kx2,?,kxn)?V2，
向量的加法，数乘满足运算规则（１）－（８）,故Ｖ2是线性空间． （3） 因为，取??(x1,x2,?,xn)?V3有，x1?x2???xn?1,
但2x1?2x2???2xn?2(x1?x2???xn)?2，所以
2??(2x1,2x2,?,2xn)?V3，即V对数乘运算不封闭．
3
故V3不是线性空间．
２．答 (1) 是．由对角阵的性质知，对角阵加对角阵仍然是对角阵，数乘对角阵仍然是对角阵；并且满足运算规则（１）－（８）．
(2) 不是．两个非奇异矩阵相加不一定是非奇异矩阵，因此，非奇异矩阵的集合对加法不封闭．
习题4.2
1A??1,?2,?3,?4?001011000110001?1?01. 解(1)
?1,?2,?3,?4是Ｒ4的一组基．
1A??1,?2,?3,?4?1232542，即?1,?2,?3,?4线性无关，故
32401200??52?0(2)
，即?1,?2,?3,?4线性无关，故
?1,?2,?3,?4是Ｒ4的一组基．
２．解 令??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4 ?
?k1??k1??k1?k?1?k2?k3?k4?1?k1??k2?k3?k4?2?k2 ???k2?k3?k4?1?k3?k?k2?k3?k4?1?4??54411441????
5111故所求坐标为：(4,4,?4,?4) 3. 解 记
?1?A?(?1,?2,?3)?2???12331，
设C为基（１）到基（２）的过渡矩阵，则B=AC，故
?1??1C?AB?2???1??18?5???37?2?12333??7?1??521?13??7?1???3?B?(?1,?2,?3)?1???4?3?1???45211??1???6??521??1??6??
5??3???11???1????41???27??1?9???6????4?712012?41??9?8??
210000850??0?3??2?4解 （a）记
?5?2?A?(?1,?2,?3,?4)??0??0，
?1001???0210?B?(?1,?2,?3,?4)???0021???0001??
设C为基（１）到基（２）的过渡矩阵，则B=AC，故
?5?2?1C?AB???0??0210000850??0?3??2??1?1?0??0??0020001201??1??0?2??1??0??1?=?0?41000?254?101???2??1??3?
（b）??3?1?2?2??3在基（2）下的坐标为：（3，２，１，０）T所以在基（1）下?3???7?????219?C?????1??4?????0?10???? 的坐标为：
习题４.３
１．
解 （1）(?,?)???（2）(?,?)???２． 解
T?(?1,2,?2,1)(?2,2,1,?1)T?3
TT?(3,7,3,?1,2)(?3,0,2,?1,3)22?4
??0?(?2)?1?022222?25
2??(?1)?0?2?(?3)?222222?218 11??３． 解 （1）
（2）
1?(?2)?(?1)?0?2?1?d?????22
22(1?0)?(1?1)?(0?2)?(?2?1)?14
d???? ??(1?(?1))?(?1?1)?(1?(?1))?(?1?1)?(1?(?1))2022222
４．
解 （1）
??,???arccos(?,?)
???1?3?2?1?2?5?3?11?2?2?3?22222222 ?arccos3?1?5?1 ?arccos22??4 （2）
??,???arccos
(?,?)???1?0?0?1?(?1)?0?0?2?1?01?0?(?1)?0?1?22222 ?arccos0?1?0?2?022222 ?arccos0??2
习题４.４
１．
解 设??(x1,x2,x3,x4),则
?(?,?1)?x1?x2?x3?x4?0??(?,?2)?x1?x2?x3?x4?0?(?,?)?x?x?x?x?031234?，
解齐次线性方程组得基础解系，得到方程组的一个解为：??(1,1,1,1)
单位化得２．
???12(1,1,1,1)
解（１）由施密特正交化方法 ?1????1??1?0????1??，
?2?1??1??12?(?1,?2)??1?1?0?1?1?0??????2??1?1?0?1??1?1?0?0?1?1????(?1,?1)1???0???1?????2??，
(?1,?3)(?1,?1)?3??3??1?(?2,?3)(?2,?2)12?2?12???23??0?1?1?(?)?1???2?1?321212????(2)?1?(?2)12???2????3??
12?0??1???1?0?0?1?1?1???1?0???1?1?0?0?1?1?????1???1??单位化得单位正交向量组：
?1?(*12,0,1);2T?2?(*16,26,?1);6T?3?(?*13,13,1)3T
（２）由施密特正交化方法
?1???1?1??1????0????0?，
?1???0(?1,?2)1?1?1?0?0?1?0?0??2??1?????1?1?1?1?1?0?0?0?0(?1,?1)???0?(?1,?3)(?1,?1)
?2?1??12????1?1?????2??0??1??????0??0?，
?3??3??1?(?2,?3)(?2,?2)?2?12??1???(?1)?(?1)?0?1?0?0?12?2?22212?1?(1)?(?)?1?022??0????1??1?????011?(?1)?1?0?0?0?1????? ???0?1?1?1?1?0?0?0?0?0?????1???0???13??1?3? ???13???1??12?4??4?(?1,?4)(?1,?1)?1?(?2,?4)(?2,?2)?2?(?3,?4)(?3,?3)?3?1????1?????1????1?
单位化得单位正交向量组：
?12??1??2??;??0????0???16?????2?6?0???16??;?????112?1?12??1?12?3?12????;????12???????1??2?1?2?1?2????1*?2*?3*?4*
３．
证明 设Q1，Q2，…，Qm为ｍ（有限）个同阶正交矩阵；
T
（Q1Q2…Qm）（Q1Q2…Qm）
=（Q1Q2…Qm）(QmT…Q2TQ1T) = Q1Q2…(QmQmT)…Q2TQ1T
TTT
=Q1Q2…Qm-1EQm-1…Q2Q1
T
=…=Q1EQ1=E
同理: （Q1Q2…Qm）T（Q1Q2…Qm）=E 故有限个正交矩阵之积仍然是正交阵．
证明 ４．
?A?1,A?2??(A?1)T(A?2)??1T(ATA)?2TT ??1E?2??1?2???1,?2?
证明 因为?1,?2,?,?n是ｎ维实列向量空间Ｒn中的一组标准正交基，Ａ是ｎ阶正交
阵，
(?i,?j)???Tij则，因为，AATT?0 i?j???1 i?j
?0 i?j???1 i?j
?AA?E
TTTj(A?i,A?j)?(A?i)(A?j)??i(AA)???i?Tj所以，
故A?1,A?2,?,A?n也是Ｒ中的一组标准正交基．
n
复习题四
1．
证明 由??V知V非空．对任意的?,??V有A???,A???；于是，
A(???)?A??A???，所以????V．
对任意的??V,k?R有A(k?)?k(A?)?k???，所以k??V． 显然向量的加法与数乘满足８条运算性质，故Ｖ是向量空间． 2．
答：是．显然V非空且对两种运算封闭．
又因为（0，0）∈V，且对任意（a，b）∈V，有：
?a,b???0,0???a?0,b?0?a0???a,b?即（0，0）是V的零元；又
?a,b????a,a2?b?a?(?a),b?(a?b)?a(?a)??0,0?即（a，b）的负元为
2???