??a,a3．
2?b；其它几条性质均可验证（验证略）。
?解（１）设Ｃ是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵，由(?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)C?1?0C???0??0可求得：
11001110?11001??1?1??1?，则求由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为： 0?1100??0??1??1?
C?1?1?0???0??0（２）设向量?在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标分别为(x1,x2,x3,x4)与(y1,y2,y3,y4)，则由坐标变换公式及已知条件可得：
?x1??y1??x1??x1?????????x2y2x2x2???C???C??????(E?C)?x3??y3??x3??x3?????????xyx?4??4??4?，或者，?x4?
此齐次线性方程的基础解系为：??(1,0,0,0)，其通解为：X故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为：
??k?1?0?2?0?3?0?4?k?1 (k?R)
??(k,0,0,0) (k?R)．
4． 证明：
????2222?(???)?(???)??2?2(???)??2??2??????(???)
所以，5．
???????
证明（１）因为?与?是正交向量，即(?,?)?0，所以，
???2?(???,???)?(?,?)?2(?,?)?(?,?)?2(?,?)?(?,?)????2
（２）因为，
???2?(???,???)?(?,?)?2(?,?)?(?,?)?2(?,?)?(?,?)????2
所以，6．
???????
解 欲使矩阵Ａ为正交阵，应有
?12??0???ba0c0??12??1a??0????0001b????c????0???12?a02010AATb2?ac?ac??1??0???022b?c??0??b20100??0?1??即，
?1?a2?12??b?2?ac?0 ??22??b?c?1
?a?1?a?1?a??22??????111b?b?????b?222???111c??c?c????2；②?22①?；③?12?a?????b???c???；④?121212；
7．
证明 因为Ａ为n阶实对称阵，则Ａ=A，又因为ＡＡ＝Ａ=E
故ＡＡT＝ＡTA= AA=E，即A是正交矩阵．
8．
证明 因为A?A 且A-1=A，故E=AA-1=AA=A2由7题结论A为正交阵；
TT2
又AA=E?(A-1
?1)(A)TT?ET?E?(A?1)A?E?(AT?1)AT?1?E
所以A-1为正交阵． ９．证明
因为, AT2???E?T?????TT???T?ETT?2??T??T?AT所以, AA2??AA??E?T?????22??E???T??????2???T ?E ?E?4??T??T?4??T???(??)?TT(???,???0)
故，Ａ为正交矩阵． １０． 证明（１）AT?(E?2??)TT?ET?2(??)TT?E?2??T?A即Ａ为对称阵；
A?AA?AA?AA2TT?(E?2??)(E?2??)TTT（２）?E?4??TTT2T?4?(??)?T?E-1
即AA＝AA＝Ｅ，故Ａ为正交阵，Ａ可逆且Ａ的逆Ａ=A；
A??(E?2??)????2?(??)???2????．
T