22.（本题满分13分）
x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)过点?0,1?,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数
ab列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N,各点均不重
合且满足????PM???????????????NQ?1MQ,PN??2
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若?1??2??3，试证明：直线l过定点并求此定点.
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参考答案
一选择题（每题5分，共60分） 题号 1 答案 B 2 B 3 A 4 B 5 C 6 B 7 B 8 C 9 B 10 A 11 C 12 C 二填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13．
323 14．
P(N|M)?S?ABD?0.36S?ABC 15．
125 16.
S?ADCS?BCDSABC2S?PDC ???r1r2rh三解答题
17.【解析】（Ⅰ）由图可知， 最小正周期T?4?2?8, 所以T?又f(1)?sin(2π??8,??π． 4πππ??)?1 ，且????， 422ππππ3πππ所以?????，???,??．所以f(x)?sin(x?1)．
4244444π（Ⅱ）解法一：因为f(?1)?0,f(1)?1,f(5)?sin(5?1)??1,
4所以M(?1,0),N(1,1),P(5,?1)，MN?5,PN?20,MP?37，
从而cos?MNP?5?20?373??．
525?202由?MNP??0,π?得sin?MNP?1?cos?MNP?解法二：因为f(?1)?sin4． 5π(?1?1)?0,f(1)?1， 4πf(5)?sin(5?1)??1，所以M(?1,0),N(1,1),P(5,?1)，
4??????????????????NM?(?2,?1),NP?(4,?2),NM?NP??6， ?????????NM?5,NP?20?25，
?????????NM?NP?63??． 则cos?MNP??????????5NM?NP5?25由?MNP??0,π?得sin?MNP?1?cos?MNP?24． 518.【解析】 (Ⅰ) 证明: 由题知,直
DA,DC,DP两两垂直,以D为原点,以DA,DC,DP
为方向向量建立空间直角坐标系D?xyz,如图所示.
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则P?0,0,2?,C?0,2,0?,G?1,2,0?,E?0,1,1?,F?0,0,1?,A?2,00?.
所以AP???2,0,2?,EF??0,?1,0?,EG??1,1,?1? . ??2分
设平面EFG的法向量为n??x,y,z?,
??????x?z,?n?EF?0??y?0????????? ???n?EG?0?x?y?z?0?y?0.取n??1,0,1?. ????????4分
????????∵n?AP?1???2??0?0?1?2?0,?n?AP,
又AP?平面EFG,
? AP //平面EFG. ????????6分
(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形,?AD?DC.又∵PD?面ABCD, ?AD?PD.又PD?CD?D,
?AD?平面PCD,?向量DA是平面PCD的一个法向量, DA=?2,0,0? . ??9分
又由(Ⅰ)知平面EFG的法向量为n??1,0,1?,
????????DA?n22?cos?DA,n???????. ?2DA?n220结合图知二面角G?EF?D的平面角为45. ????????12
分
19.【解析】（Ⅰ）设数列?an?的公差为d首项a1,由题意得
?a1?1?a2?a3?a4?15?3a1?6d?15且?，解得????2分 即?d?2a?9a?4d?9??1?5所以数列?an?的通项公式为an?2n?1??4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn?323aan?1?3n，所以n?1.bn?n.3n???6分 22n?1所以Sn?1.31?2.3?3.3????n.3
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两式相减得2Sn??(3?32?33?34????3n)?n.3n?1???10 分
?（31?3n）3?（2n?1）.n.3n?1n?1??n.3?1?32????12分
n?13?(2n?1).3即Sn?4?20．【解析】设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得：P（A）122124P（B）?C（）.????4分 355125（2）依据知X的可能取值为1.2.3???5
21???2 分 105有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B，由独立重复试验得：
）?且P（x?1842?88????6 P（x?2）???7 ?2?10545A102A21???8 P（x?3）?2?A1045则X的分布列如下表： X p 1 2 3 4 58 451 45??10分
361635511???????12分 454545459x?112x2?1x?1?lnx?21.【解析】（Ⅰ）?(x)?f?x??，???x???． ?22x?1x?1x?x?1?x??x?1?∵x?0且x?1，∴???x??0，∴函数?(x)的单调递增区间为?0,1?和?1，???． EX?（Ⅱ）∵f?(x)?即y?111(x?x0), ，∴f?(x0)?，∴切线l的方程为y?lnx0?xx0x01x?lnx0?1, ① x0xx设直线l与曲线y?g(x)相切于点(x1,e1)，∵g?(x)?ex，∴e1?l也为y?1，∴x1??lnx0．∴直线x0lnx01111??x?lnx0?， 即y?x??， ② x0x0x0x0x0第9页
x0?1lnx01． ?，∴lnx0?x?1x0x00下证：在区间（1，+?）上x0存在且唯一．
x?1（1,+?）由（1）可知，?(x)?lnx?在区间上递增．
x?1e2?1e2?3e?1?222??0，?(e)?lne?2??0， 又?(e)?lne?e?1e?1e?1e2?1由①②得lnx0?1?结合零点存在性定理，说明方程?(x)?0必在区间(e,e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．故结论成立．
x2y222.【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，焦距为2c， -------1分
ab222222（2a）?（2b）?（22c）由题意知 b=1,且，又a?b?c
2得a?3. -------------3分
x2?y2?1所以椭圆的方程为 3 ---------5分
(Ⅱ) 由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2)，设l方程为x?t(y?m)， 由PM??1MQ知(x1,y1?m)??1(x0?x1,?y1) ∴y1?m??y1?1，由题意?1?0，∴?1?分
m?1 -----------------7y1????????m同理由PN??2NQ知?2??1
y2∵?1??2??3，∴y1y2?m(y1?y2)?0 （*） ------8分
?x2?3y2?322222联立?得(t?3)y?2mty?tm?3?0
?x?t(y?m)∴需??4mt?4(t?3)(tm?3)?0 （**）
242222mt2t2m2?3,y1y2?2且有y1?y2?2 （***） -------10t?3t?3第10页
分
（***）代入（*）得t2m2?3?m?2mt2?0，∴(mt)2?1，
由题意mt?0，∴mt??1(满足（**）)， ----------12分 得
l
方
程
为
x?ty?1,过定点(1,0),即P为定点.
---------------13分
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