2007-2008学年第二学期线性代数试卷A参考答案和评分标准
一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分） 1．C ； 2．C ； 3. A； 4. A； 5. C 二、填空题（每小题4分，本大题共20分）
?44?1. 5 ；2、??；3. 1 ；4．
44???13?
?34? ；5．正数. ??
?abac三、（本题10分）计算行列式bd?cdbfcfaede. ?ef?abac解：bd?cdbfcf?baede=adfbb?efce?ce……….…….…..…………（3分） c?e?111?11……………………………………………………………………………….（6分）=adfbce1 11?1=4abcdef……….………………………………………………………....……（10分）
?5??2 四、（本题10分）求方阵?0??0?210000850??0?的逆矩阵. 3??2???A1O?5283?,解：A?? A??1,A??1,.……….……..……..（3分） 12?OA?21522??A1?1?1?2??A1????25??,.……….……………………………………………（5分）
???A2?1?2?3???A2????58??,.…………………………………………..……..…（7分）
??? 1 -2 0?50??2??002??00-5 ?0??0?.……….…………………………………….…（10分） ?-3? 8 ??A?1?2x1?4x2?5x3?3x4?7?五、（本题12分） 求线性方程组 ?3x1?6x2?4x3?2x4?7通解.
?4x?8x?17x?11x?21234?1解.对方程组的增广矩阵作初等行变换
??1?20?2?4537?????A??3?6427??001?4?8171121?????000??2?7570?1??1?………………………..（4分） ?0???于是方程组的同解方程组为
2?x?1?2x?x42??17，x2,x4为自由未知量……………………..………..（8分） ?5?x?1?x34?7??2??x1??1??2?????????7???x2??0??1?0所以方程组的通解为：????????k1??5?k2 . …………….…..….（12分） x310??????????7??x??0??0??1??4???????六、（本题12分）解：A的特征方程为
??1|?E?A|?4?1?100=(??2)(??1)2?0，……………..………....（2分） ??2??30故A的特征值为?1?2，?2??3?1. ……………..………………….……..（5分）
?3x1?x2?0?(1) 对于特征值?1?2，得到齐次线性方程组 ?4x1?x2?0，它的基础解系是
???x1?0?0??0?????0k ??， 所以属于特征值2的全部特征向量为?0?, (k?0).………..…….（7分）?1??1??????2x1?x2?0?(2) 对于特征值?2??3?1，得到齐次线性方程组 ?4x1?2x2?0，它的基础解系
???x1?x3?0?1??1?????是?2?，所以属于特征值1的全部特征向量为k?2?, (k?0).………...（9分） ??1???1?????因此A不与对角形矩阵相似. .…………….…………………………….（12分） 七、（本题8分）
设?1,?2,?3线性无关，证明?1??2,?2??3,?1??2??3也线性无关.
证明：设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?1??2??3)?0，………..…….（2分） 则有(k1?k3)?1?(k1?k2?k3)?2?(k2?k3)?3?0， ……………….（4分）
?k1?k3?0? ??1,?2,?3线性无关，??k1?k2?k3?0，?k1?k2?k3?0……….….（6分）
?k?k?023?所以?1??2,?2??3,?1??2??3线性无关. …………………………..….（8分） 八、（本题8分） 证明：若A为n?n阶非零矩阵，则秩（A）=1的充分必要条件是A可写为一列向量与一行向量的积.
证明：必要性：因为秩（A）=1，所以存在可逆矩阵P和Q，
?1?0使得PAQ??????000?0????0??1????0??0??(10?0)，.……………………..….（2分） ????????0??0??a1??1??????a2??0?得到A?P?1??(10?0)Q?1=??(b1b2?bn)，
???????a??0??n????a1??1??????a2??0?这里??=P?1??，(b1b2?bn)=(10?0)Q?1。………………(4分)
???????a??0??n???充分性：不妨设
A??T?，这里??(a1,a2?,an),??(b1,b2?,bn)。
因为A为n?n阶非零矩阵，所以秩（A）>0, ……………..……........（6分） 而秩A??T??秩(?T)?1,
所以秩（A）=1. ……………..………………………………………….（8分）