全部写出来，于是小明用2－1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，所以将2减去其整数部分，差就是其小数部分．
(1)你能求出5＋2的整数部分和小数部分吗？
(2)已知10＋3＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求出x－y的相反数．
19.?定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作是分母为1的有理数；反之为无理数．如2不能表示为两个互质的整数的商，所以2是无理数．可以这样证明：
aa22设2＝，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则2＝2，a＝2b2.因为b是整数且不为0，
bb所以a是不为0的偶数．设a＝2n(n是整数)，所以b2＝2n2，所以b也是偶数，这与a，b是互质的两个整数矛盾，所以2是无理数．
仔细阅读上文，求证：5是无理数．
方法点拨
?从结论的反向出发，经推理，推得与基本事实、定义、定理或已知条件相矛盾的结果，这样的方法称为反证法.
典题讲评与答案详析
1．A 2.－2π 无理数 3.C
3
4．0.51525354…，3π，9，27 [解析] 因为0是整数，0.2可化成分数，9＝3，是整数，理数．
5.2 [解析] 由题图中所给的程序可知，把256取算术平方根，结果为16，因为16是有理数，所以再取算术平方根，结果为4，是有理数．再取4的算术平方根，结果为2，是有理数．再取算术平方根，结果为2，2是无理数，所以y＝2.
6．解：∵12＝1，22＝4，32＝9，…，102＝100，
∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，∴无理数有 90个．
∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64， 53＝ 125，且64<100，125>100，
∴1，2，3，…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，∴无理数有96个， ∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90＋96＝186(个)．
7．D [解析] 正整数、负整数、0统称为整数；有理数分为正有理数、0和负有理数；有理数包括无限循环小数和有限小数；实数包括有理数和无理数．
8．B [解析] 两个无理数的和不一定是无理数，如2和－2；无理数与有理数的积也不一定是无理数，如2和0；有理数与有理数的和一定是有理数；无限不循环小数是无理数；有限小数和无限循环小数是有理数．
131223，是分数，所以这五个数都是有理数.0.51525354…，3π，9，27都是无117
1
9．B [解析] 分数是两个整数作商，不能整除的数，因此只有是分数．
310．D [解析]A项，11
＝是有理数，故选项正确；B项，2是无理数，故选项正确；42
32
C项，－－27＝3是正实数，故选项正确；D项，是无理数，故选项错误．故选D.
2
11．2 无数
5312．有理数集合：{512，3.1415926，－0.456，0，，（－13）2，…}；
11
3无理数集合：{π，3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，－21，0.1，…}；
3正实数集合：{512，π，3.1415926，
5
3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，，（－13）2，
110.1，…}；
3整数集合：{512，0，（－13）2，…}．
13．D [解析] 实数与数轴上的点具有一一对应的关系． 14．B
15．C [解析]∵圆的直径为1个单位长度，∴此圆的周长＝π，∴当圆向左滚动时点A′表示的数是－1－π；当圆向右滚动时点A′表示的数是π－1.
16．2＋3 [解析] 在同一数轴上表示2的点与表示－3的点之间的距离是2＋|－3|＝2＋3.
17．(1)2 (2)302 [解析] (1)∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上的数字a与数轴上的数字5对应时，a＝2.
(2)∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上的数字0，1，2与数轴的正半轴上的整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，…每3个一组分别对应，
∴数轴绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是302.
18．解：(1)∵4＜5<9，∴2＜5<3， ∴5的整数部分是2，小数部分是5－2，
∴5＋2的整数部分是2＋2＝4，小数部分是 5－2. (2)∵3的整数部分是1，小数部分是3－1，
∴10＋3的整数部分是10＋1＝11，小数部分是3－1，∴x＝11，y＝3－1， ∴x－y的相反数是y－x＝3－12.
aa22
19．证明：设5＝，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则5＝2，a＝5b2.因为b是
bb整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数．设a＝5n(n是整数)，所以b2＝5n2，所以b也为5的倍数，这与a，b是互质的两个整数矛盾，所以5是无理数．
【关键问答】
①无理数有三种常见的表现形式：一是含有根号且开方开不尽的数；二是化简后含π的数；三是人为创造的一些无限不循环小数．
②数轴上的每一点都可以表示一个实数．