（1） ?z19|z|?4(z2?1)4(z4?2)3dz（8分）， （2）??d?01?cos2?（7分）。
4．叙述儒歇定理并讨论方程z7?5z4?z2?2?0在|z|?1内根的个数。（10分）
四．证明题。（20分）
1．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是上半复平面内的解析函数，证明
f(z)是下半复平面内的解析函数。（10分）
2．设函数
f(z)在|z|?R内
解
析
，
令
M(r)?max|z|?r|f(z)|,(0?r?R)。证明：M(r)在区间[0,R)上是
一个上升函数，且若存在r1及r2（0?r1?r2?R），使
M(r1)?M(r2)，则f(z)?常数。（10分）
《复变函数》试卷(十)
一、填空题。(每题2分) 1、设z?r(cos??isin?)，则
1z?_________________。 2、设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，
则
zlim?zf(z)?A的充
要
条件是
0___________________。__ ___3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意
一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_______。
4、设z?a为f(z)的极点，则limz?af(z)?______。
5、设f(z)?zsinz，则z?0是f(z)的______阶零点。
31
6、设f(z)?11?z2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_______________________。
7、设|z?a|?|z?a|?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲
线是______。 8、设z??sin?6?icos?6，则z的三角表示式为
_____________。__
?9、?40zcoszdz?___________________。
?z10、 设f(z)?ez2，则f(z)在z?0处的留数为_________。 二、计算题。
1、计算下列各题。(9分)
(1) cosi; (2) ln(?2?3i); (3) 33?i 2、求解方程z3?8?0。(7分)
3、设u?x2?y2?xy，验证u是调和函数，并求解析函数
f(z)?u?iv，使之f(i)??1?i。(8分)
4、计算积分。(10分)
(1)
?C(x2?iy)dz，其中C是沿y?x2由原点到点z?1?i的曲
线。
(2)
?1?i0[(x?y)?ix2]dz。积分路径为自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i。 5、试将函数f(z)?1(z?1)(z?2)分别在圆环域0?|z|?1和
1?|z|?2内展开为洛朗级数。(8分)
6 、计算下列积分。
(8分)
(1) ?5z?2sin2|z|?2z(z?1)2dz; (2)
?z|z|?4z2(z?1)dz.
7、计算积分???x2??1?x4dx。(8分) 8、求下列幂级数的收敛半径。(6分)
32
??（1） ?nzn?1 （2）(?1)nznn?1? n?1n!9、讨论f(z)?|z|2的可导性和解析性。(6分) 三、 证明题。
1、设函数f(z)在区域D内解析，|f(z)|为常数，证明f(z)必为
常数。(5分)
2、试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为
实常数。(5分)
《复变函数》考试试卷(十一)
一、填空题。(每题2分)
1、设z?r(cos??isin?)，则zn?_________________。 2、设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则
zlim?zf(z)?A的充要条件是
0___________________________。
3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_______。
4、设z?a为f(z)的可去奇点，则limz?af(z)为。
5、设f(z)?z2(ez2?1)，则z?0是f(z)的______阶零点。 6、设f(z)?11?z2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_______________________。
33
7、设|z?a|?|z?a|?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是______。
8、设z?si?n?ico?s，则z的三角表示式为_____________。__
9、?1?i1zezdz?___________________。 10、设f(z)?z2sin1z，则f(z)在z?0处的留数为_________。 二、计算题。
1、计算下列各题。(9分) (1) Ln(?3?4i); (2) e?1??i6; (3) (1?i)1?i
2 求解方程z3?2?0。(7分)
3设u?2(x?1)y，验证u是调和函数，并求解析函数
f(z)?u?iv，使之f(2)??i。(8分)
4、计算积分?1?i0[(x?y)?ix2]dz。积分路径为(1)自原点到1?i的
直线段；(2) 自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i。
(10分) 5、试求f(z)?1z?2在z??1的邻域内的泰勒展开式。(8分) 6、计算下列积分。(8分) (1)
?sinz|z|?2(z??dz; (2)
?z2?2|z|?4z2(z?3)dz.
2)2
7、计算积分?2?d?05?3cos?。(6分)
8、求下列幂级数的收敛半径。(6分)
?? ?(1?i)nzn （2）(n!)2（1）zn ?0?nnn?1n9、设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l,m,n的值。(8分) 三、 证明题。
1设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明
f(z)必为常数。(5分)
34
2试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数。(5分)
35