2014年高考数学(理)真题分类汇编： 选修4 系列
选修4-1：几何证明选讲
15．[2014·广东卷] )如图1-1所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交 △CDF的面积 于点F，则＝________9．
△AEF的面积
图1-1
15．[2014·湖北卷] 如图1-2，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交
⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝_____4___． 图1-2 图1-3
12．[2014·湖南卷] 如图1-3所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则
3
⊙O的半径等于________．
2
22．[2014·辽宁卷]如图1-7所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上—点且PG＝PD， 连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD. 由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，
又因为∠PGD＝∠EGA，所以∠DBA＝∠EGA， 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD， 从而∠BDA＝∠PFA.
又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径． (2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD， 从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.
又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. 因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，
所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.
22．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-1：几何证明选讲
如图1-6，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE. 图1-6
(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．
证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E. (2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上． 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD， 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．
22．[2014·新课标全国卷Ⅱ]
如图1-4，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为
PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： (1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.
图1-4
证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA. 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB， ∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC. 因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
2
所以AD·DE＝2PB.
15．[2014·陕西卷]
如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F， 若AC＝2AE，则EF＝________．3
6．[2014·天津卷]
的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF. 则所有正确结论的序号是( D )
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
图1-2
14．[2014·重庆卷] 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)， 再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9， 则AB＝________．4
如图1-2所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆
选修4-4：坐标系与参数方程
13．[2014·天津卷] 在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．3
4．[2014·安徽卷] 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系?x＝t＋1，中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是?(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，
?y＝t－3则直线l被圆C截得的弦长为( D )
A.14 B．214 C.2 D．22
?x＝－1＋cos θ，
3．[2014·北京卷] 曲线?(θ为参数)的对称中心( B )
?y＝2＋sin θ
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 21． [2014·福建卷]
?x＝a－2t，?x＝4cos θ，已知直线l的参数方程为?(t为参数)，圆C的参数方程为?(θ为参数)．
?y＝－4t?y＝4sin θ(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点， 故圆C的圆心到直线l的距离d＝
≤4， 解得－25≤a≤25.
14．[2014·广东卷]在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．(1，1)
??x＝
16．[2014·湖北卷]已知曲线C1的参数方程是?
?y＝?
t，
3t(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为
3
极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．(3，1)
?x＝2＋cos α，π
11．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：?(α为参数)
4?y＝1＋sin α交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方
程是________．ρcos θ－ρsin θ＝1
11．[2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( A )
A．ρ＝
π1
，0≤θ≤
2cos θ＋sin θ
π1
B．ρ＝，0≤θ≤ 4cos θ＋sin θC．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
π 2π 4
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
23．[2014·辽宁卷] 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
?x＝x1，2
23．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得?由x21＋y1＝1
?y＝2y1，
2yy222
得x＋2＝1，即曲线C的方程为x＋＝1.
4
?x＝cos t，
故C的参数方程为?(t为参数)．
?y＝2sin t
y22?x＋＝1，?x＝1，?x＝0，4(2)由?解得?或?
y＝0y＝2.???2x＋y－2＝0，
11
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为2，1，所求直线的斜率k＝，于是所求直线2
11
方程为y－1＝x－2，
2
化为极坐标方程，并整理得
3
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝. 4sin θ－2cos θ
()
()
()23．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-4：坐标系与参数方程 ?x＝2＋t，x2y2
已知曲线C：＋＝1，直线l：?(t为参数)．
49?y＝2－2t
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． ?x＝2cos θ，
23．解：(1)曲线C的参数方程为?(θ为参数)，
?y＝3sin θ直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离 d＝
5
|4cos θ＋3sin θ－6|， 5
d25
＝|5sin(θ＋α)－6|，
5sin 30°
则|PA|＝
4
其中α为锐角，且tan α＝. 3
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为
225
. 5
25
. 5
23．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为
π
ρ＝2cos θ，θ∈?0，?.
?2?
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
23．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的参数方程为 ?x＝1＋cos t，?(t为参数，0≤t≤π)． ?y＝sin t，
(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线
π. 3
与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝
ππ33
故D的直角坐标为?1＋cos，sin?，即?，?.
33???22?ππ
15．[2014·陕西卷] C．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点?2，?到直线ρsin?θ－?＝1
6??6??的距离是________．
15． C．1
自选模块2．[2014·浙江卷] (1)在极坐标系Ox中，设集合A＝{(ρ，θ)|0≤θ≤集合A所表示区域的面积；
(2)在直角坐标系xOy中，
?x＝－4＋tcosπ，?4
直线l：?(t为参数)，
π
??y＝tsin4
?x＝acos θ，
曲线C：?(θ为参数)，其中a＞0.
?y＝2sin θ
若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围． 解：(1)在ρ＝cos θ两边同乘ρ，得
ρ2＝ρcos θ.
化成直角坐标方程，得x2＋y2＝x，
211
即x－2＋y2＝.
4
π
，0≤ρ≤cos θ}，求4
()
1
所以集合A所表示的区域为：由射线y＝x(x≥0)，y＝0(x≥0)，圆x－2
π1
图所示的阴影部分，所求面积为＋. 168
()
2
1
＋y2＝所围成的区域，如
4
(2)由题意知，直线l的普通方程为x－y＋4＝0. 因为曲线C上所有点均在直线l的右下方，故对θ∈R，有acos θ－2sin θ＋4＞0恒成立，
2
即a2＋4cos(θ＋φ)＞－4其中tan φ＝a恒成立，
()
所以a2＋4＜4.又a＞0，得0＜a＜2
3.
?x＝2＋t，
15．[2014·重庆卷] 已知直线l的参数方程为?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴
?y＝3＋t
为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．5
选修4-5：不等式选讲