证明一：连结AD
?AB?AC，BD?DC?∠1?∠2?90?，∠DAE?∠DAB ?∠BAC?90?，BD?DC
?BD?AD?∠B?∠DAB?∠DAE 在?ADE和?BDF中，
?AE?BF，∠B?∠DAE，AD?BD??ADE??BDF ??3??1
??3??2?90??FD?ED 说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM AFEBMDC图5?BD?DC?BDM??CDE，DM?DE??BDM??CDE?CE?BM，?C??CBM ?BM//AC??A?90???ABM?90???A?AB?AC，BF?AE?AF?CE?BM??AEF??BFM?FE?FM
?DM?DE?FD?ED
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。
（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90°。
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三. 证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）
例5. 已知：如图6所示在?ABC中，?B?60?，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。 求证：AC＝AE＋CD BE15423ODAF图66C 分析：在AC上截取AF＝AE。易知?AEO??AFO，??1??2。由?B?60?，知?5??6?60?，?1?60?，?2??3?120?。??1??2??3??4?60?，得：
?FOC??DOC，?FC?DC 证明：在AC上截取AF＝AE ??BAD??CAD，AO?AO ??AEO??AFO?SAS?
??4??2 又?B?60?
??5??6?60???1?60???2??3?120?
??1??2??3??4?60???FOC??DOC(AAS)?FC?DC即AC?AE?CD
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法） 例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，?EAF?45?。 求证：EF＝BE＋DF A312DFG 分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。
证明：延长CB至G，使BG＝DF
7 BE图7C
在正方形ABCD中，?ABG??D?90?，AB?AD
??ABG??ADF(SAS)?AG?AF，?1??3 又?EAF?45?
??2??3?45?
??2??1?45? 即∠GAE＝∠FAE
?GE?EF
?EF?BE?DF中考题：
如图8所示，已知?ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。 求证：EC＝ED EFAB 证明：作DF//AC交BE于F ??ABC是正三角形 ??BFD是正三角形 又AE＝BD
C图8D ?AE?FD?BF
?BA?AF?EF 即EF＝AC
?AC//FD??EAC??EFD
??EAC??DFE(SAS)?EC?ED题型展示：
证明几何不等式： 例题：已知：如图9所示，?1??2，AB?AC。 求证：BD?DC A12BD图9CE 证明一：延长AC到E，使AE＝AB，连结DE 8
在?ADE和?ADB中，
?AE?AB，?2??1，AD?AD??ADE??ADB
?BD?DE，?E??B??DCE??B??DCE??E?DE?DC，?BD?DC
证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF A12FB 则易证?ADF??ADC 34D图10C ??3??4，DF?DC?BFD??3，?4??B ??BFD??B ?BD?DF?BD?DC说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。 实战模拟： 1. 已知：如图11所示，?ABC中，?C?90?，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有AC?AD?CE。求证：DE?1CD 2CEAD图11B 2. 已知：如图12所示，在?ABC中，?A?2?B，CD是∠C的平分线。 求证：BC＝AC＋AD ADB图12C 3. 已知：如图13所示，过?ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。
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求证：MP＝MQ AQBP图13 MC 4. ?ABC中，?BAC?90?，AD?BC于D，求证：AD?1?AB?AC?BC? 4【试题答案】 1. 证明：取CD的中点F，连结AF C41F3EBAD?AC?AD ?AF?CD ??AFC??CDE?90? 又?1??4?90?，?1??3?90? ??4??3 ?AC?CE ??ACF??CED(ASA)
?CF?ED1?DE?CD2 2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。 EADB 证明：延长CA至E，使CE＝CB，连结ED 在?CBD和?CED中， C 10