|2(a?1)?1?212?a?1|22?52，化简可得a2(a2?4a?6)?0
[2(a?1)]?(?1)求解可得a0?0,a1?2?10,a2?2?10 抛物线C在点(ai,(ai?1)2)(i?0,1,2)处的切线分别为l,m,n，其方程分别为
y?2x?1① y?2(a1?1)x?a1?1② y?2(a2?1)x?a2?1③
22②－③得x?a1?a22?2，将x?2代入②得y??1，故D(2,?1)
所以D到直线l的距离为d?|2?2?(?1)?1|2?(?1)22?655。
【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。
22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） ．．．．．．．．
函数f(x)?x2?2x?3。定义数列?xn?如下：x1?2,xn?1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。 （1）证明：2?xn?xn?1?3； （2）求数列?xn?的通项公式。
解：（1）为f(4)?4?8?3?5，故点P(4,5)在函数f(x)的图像上，故由所给出的两点
P(4,5),Qn(xn,f(xn))，可知，直线PQn斜率一定存在。故有
2直线PQn的直线方程为y?5?2f(xn)?5xn?4?5(x?4)，令y?0，可求得
?5?xn?2xn?8xn?4(x?4)?xn?2?x?4?x?4xn?3xn?2
所以xn?1?4xn?3xn?2
下面用数学归纳法证明2?xn?3
当n?1时，x1?2，满足2?x1?3
假设n?k时，2?xk?3成立，则当n?k?1时，xk?1?5xk?2544xk?3xk?2?4??4?5xk?2，
由2?xk?3?4?xk?2?5?1?也成立
??2?1145xk?2?3即2?xk?1?3综上可知2?xn?3对任意正整数恒成立。 下面证明xn?xn?1 由xn?1?xn?4xn?3xn?2?xn?4xn?3?xn?2xnxn?22??(xn?1)?4xn?22
由2?xn?3?1?xn?1?2?0??(xn?1)2?4?3，故有xn?1?xn?0即xn?xn?1 综上可知2?xn?xn?1?3恒成立。 （2）由xn?1?或x??1
?xn?1?3?4xn?3xn?2?3?xn?3xn?24xn?3xn?2得到该数列的一个特征方程x?4x?3x?2即x2?2x?3?0，解得x?3 ① xn?1?(?1)?4xn?3xn?2??15xn?xn?25②
两式相除可得
xn?1?3xn?1?1?15?xn?3xn?1,而
x1?3x1?1?2?32?1??13
?x?3?11故数列?n是以为首项以为公比的等比数列[来源:Z.xx.k.Com] ??x?135?n?xn?3xn?1??1?()351n?1,故xn?9?53?5n?1n?1?1?1?3?43?5n?1?1。
【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。
【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。