其中平板长为120cm，宽度为50cm，每根木条宽度为2.5cm，由圆的对称性我们只需对四分之一(右下)圆进行分析，如图：我们由外
ai?r2?bi2 ,向内进行计算，每根木条桌椅最内侧 Di到 Ei距离：
则每根木条长度为Ci?s0?ai，再根据木桌完全展开后桌腿侧面图进行
分
析
如
图
，
可
算
得
各
开
槽
长
度
12scch2h?(c1?(1)2?()2?ci)?(0?ai?1)?ki，其中有平板长度和木条宽度22222可以得到四分之一圆(右下)共有十根木条。
(3)以任意一个桌脚为原点建立空间直角坐标系。设定最外层桌腿与x轴的夹角为?0，标注出钢筋的所在位置。如下图所示：
图4.1.3
(4)用MATLAB编程，(见附录程序一)可得到每条桌腿木条的长度和开槽的大小，由于桌腿木条分为两组，每组有20根木条，且每组
桌腿也对称。所以表格中只列出1/4的桌腿木条长度和卡槽大小。得到的数据如下：
表4.4.4 折叠桌腿和开槽长度
C K
(5)因为折叠桌的沿中心轴对称，所以我们只以1/4的桌子来考虑，其他的对称就行，由于平板为长方体，所以每根木条的桌脚在钢筋轴的下方加上各自的开槽长度相等，即最外侧桌脚长度的一半，在前面我们已经求出了每根木条的卡槽长度，在桌椅完全展开的情况下求得木条与桌面的最大夹角?，对于任意角度 都满足一个函数等式 x?c1*cos??(60?ci?c1*cos?)，就由此可求出多组木条桌脚顶点的
21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52.1 46.8 43.4 41.0 39.1 37.6 36.5 35.7 35.2 35.0 0 5.5 10.6 15.0 18.7 21.6 23.9 25.5 26.6 27.2 轨迹，即桌脚边缘线的数学描述。如图4.1.4为用MATLAB程序（见附录程序三）画出的平板折叠后静态的边缘线。图4.1.5描述了边缘线一系列的运动过程。
图4.1.4
图4.1.5
(7)做动态图时，首先要建立直角坐标系，假设桌腿木条和桌面的夹角为
x?c1*cos??(60?ci?c1*cos?)，以桌面圆心为坐标系原点建立空2间直角坐标系，根据题目已给的参数和几何关系分别表示出桌面
x,y,z坐标函数。根据这些函数，应用
MATLAB程序（见附录程序二）
画出折叠桌的动态图。以下为动态图的四个动态过程。
图4.1.6
4.2问题二模型建立与求解
(1)根据问题二题目要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对与顾客任意给定桌面的高度和木条宽度h0，m0进行折叠桌椅设计，通过建立多目标优化模型来求解。
(2)产品的稳定性：对桌椅四分之一桌腿进行力矩分析如图4.2.1所示，若要桌椅的稳定新较好择期受力要稳定，通过问题一已得结果
对我们的可以轻易的知道在桌椅完全展开后，随着最外侧支撑木条桌椅逐个内侧增加时，桌椅木条与桌面的夹角是逐渐增大的。对完全展开后的桌椅进行受力分析如下图：
图4.2.1
(3)我们整体的对受力最复杂的钢筋进行受力分析，简化模型，此时只存在两种木条，一种是木条与桌面夹角小于90°，另一种则是木条与桌面夹角大于90°只有这样钢筋的受力分析才能达到如图效果，如果木条与桌面全部小于或大于90°则受力不可能达到稳定，有考虑到每根木条的受力大小均衡，在木条夹角渐变过程是与桌面夹角大于或小于9°的木条数应该尽可能相等，所以我们对四分之一桌
?角的中间桌腿与桌面夹角经行分析的到方程及其约束条件
r2m<90°。
加工方便：我们建立模型时要求在满足顾客要求的同时尽可能的是木条宽度最大，因为在实际生产中，模板是整体进行切割，如果木条宽度越大则木条数九越少这样在实际模板切割的时候难度就会减低，从而达到加工方面的优化。
用材最少：由问题已可知在给定模板宽度以及高度时，要是所用木材最少即为模板的长度最小，在模型中我们以最中间的木条建立约束条