第五章 数列第1课时 数列的概念及其简单表示法(对应学生用书(文)、(理)70～71页)
考情分析 理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种简① 了解数列的概念和几种简单的表示方法单表示法(列表、图象、通项公式)；了解数列(列表、图象、通项公式). 是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能② 了解数列是自变量为正整数的一类函数. 的通项公式．
111
1. (必修5P32习题1改编)一个数列的前四项为－1，，－，，则它的一个通项公式是________．
2341
答案：an＝(－1)n
n
2. (必修5P31练习2改编)已知数列{an}的通项公式是an＝6
答案：a5＝
13
3. (必修5P44习题8改编)若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n，则a6＋a7＋a8＝________． 答案：48
解析：a6＋a7＋a8＝S8－S5＝88－40＝48.
4. (必修5P32习题6改编)已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋5，这个数列的最小项是________． 答案：－11
解析：由an＝(n－4)2－11，知n＝4时，an取最小值为－11.
1. 数列的概念
按照一定顺序排列的一列数． 2. 数列的分类
项数有限的数列叫做有穷数列． 项数无限的数列叫做无穷数列． 3. 数列与函数的关系
1
考点新知 n＋1
，则这个数列的第5项是________． 2n＋3
从函数观点看，数列可以看成是以正整数为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1，2，3，?)有意义，那么可以得到一个数列{f(n)}．
4. 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)(n＝1，2，3，?)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．
5. 数列{a??S1，n＝1，n}的前n项和Sn与通项an的关系是an＝???Sn≥2.
n－Sn－1，[备课札记]
题型1 由数列的前几项写通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式： (1) 1，－3，5，－7，9，? (2) 1，0，13，0，11
5，0，7，?
(3) a，b，a，b，a，b，? (4) 0.9，0.99，0.999，0.9999，? (5) 1，
22，12，24，1
4
，? 解：(1) a1)n＋
n＝(－1(2n－1)． (2) a1－（－1）n
n＝2n
.
（－1）n＋
1(3) a（a－b）＋a＋b
n＝2
.
(4) an＝1－
110n. (5) a＝(2)1－
nn. 变式训练
写出下列数列的一个通项公式： (1) －1925
2，2，－2，8，－2
，?
2
(2) 5，55，555，5555，? (3) 1，3，6，10，15，? 解：(1) an＝(－1)
nn2
2
.
5
(2) an＝(10n－1)．
9(3) an＝
n（n＋1）
. 2
题型2 由an与Sn关系求an
例2 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项an. (1) Sn＝3n－1； (2) Sn＝n2＋3n＋1.
解：(1) n＝1时，a1＝S1＝2. n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n1.
－
当n＝1时，an＝1符合上式． ∴ an＝2·3n1.
－
(2) n＝1时，a1＝S1＝5. n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2. 当n＝1时a1＝5不符合上式．
?5，n＝1，?∴ an＝?
?2n＋2，n≥2.?
备选变式（教师专享）
已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，求数列{an}的通项公式及Sn的最大值．
解：由题意可知：∵ f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴ f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝－2x＋7对应相等可得a＝－1，b＝7，
∴ 可得f(x)＝－x2＋7x.因为点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以有Sn＝－n2＋7n. 当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，a1＝6适合上式， ∴ an＝－2n＋8(n∈N*)．
令an＝－2n＋8≥0得n≤4，当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12. 综上，an＝－2n＋8(n∈N*)，当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12. 题型3 数列的性质
3
例3 如下表定义函数f(x)：
x f(x) 1 5 2 4 3 3 4 1 5 2 对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2，3，4，?，求a2 008.
解：a1＝4，a2＝1，a3＝5，a4＝2，a5＝4，?，可得an＋4＝an.所以a2008＝a4＝2. 备选变式（教师专享）
n－98
已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，求数列前30项中的最大项和最小项．
n－99解：∵an＝1＋99－98
，∴当n≤9时，an随着n的增大越来越小且小于1，当10≤n≤30时，an随
n－99
着n的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a10，最小项为a9.
1. 已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是________． 答案：an＝n
解析：由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1， ∴
an＋1an?an?ana1＝.∴ 数列?n?是常数列，且＝＝1.
n1??n＋1n
∴ an＝n.
??（3－a）n－3，n≤7，
2. 设a＞0，若an＝?n－6且数列{an}是递增数列，则实数a的范围是__________．
?a，n＞7，?
答案：2＜a＜3
3－a＞0，??
解析：由{an}是递增数列，得?a＞1，
??a8＞a7，
??1＜a＜3，
解得?∴ 2＜a＜3.
?a＜－9或a＞2，?
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1＋Sn)＝n＋1，则{an}的通项公式为__________．
??3，n＝1答案：an＝?n
?2，n≥2?
解析：由log2(1＋Sn)＝n＋1，得Sn＝2n1－1.
＋
n＝1时，a1＝S1＝3. n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.
4
??3，n＝1，
当n＝1时a1＝3不符合上式，∴ an＝?n
?2，n≥2.?
1
4. (2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝(－1)nan－n，n∈N，则a3＝________．
21
答案：－
16
11
解析：当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝－a3－，则a1＋a2＋2a3＝－，当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4
8811
＝a4－，两式相减得a3＝－.
1616
2?n??
?5. 若数列?n（n＋4）??3?中的最大项是第k项，则k＝________．
?
?
答案：4
解析：设最大项为第k项，
2?k2?k＋1????k（k＋4）?3?≥（k＋1）（k＋5）?3?，
则有?
kk－1?2?≥（k－1）（k＋3）?2??k（k＋4），??3??3?2
??k≥10或k≤－10，?k≥10，∴ ?2解得? ?k－2k－9≤0，??1－10≤k≤1＋10，
∴ k＝4.
1. 若an＝n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．
答案：(－3，＋∞)
解析：解法1：(函数观点)因为{an}为单调递增数列，所以an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞n2＋λn＋3，化简为λ＞－2n－1对一切n∈N*都成立，所以λ＞－3.
故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．
解法2：(数形结合法)因为{an}为单调递增数列，所以a1＜a2，要保证a1＜a2成立，二次函数f(x)＝x2
λλ3
＋λx＋3的对称轴x＝－应位于1和2中点的左侧，即－＜，亦即λ＞－3，故实数λ的取值范围为(－3，
222＋∞)．
2. 已知an＝n×0.8n(n∈N*)． (1) 判断数列{an}的单调性；
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