(2) 是否存在最小正整数k，使得数列{an}中的任意一项均小于k？请说明理由． 解：(1) ∵an＋1－an＝
4－n
×0.8n(n∈N*)，∴n＜4时，an＜an＋1；n＝4时，a4＝a5；n＞4时，an＞an＋1. 5
即a1，a2，a3，a4单调递增，a4＝a5，而a5，a6，?单调递减．
451024399
(2) 由(1) 知，数列{an}的第4项与第5项相等且最大，最大项是4＝＝1.
5625625故存在最小的正整数k＝2，使得数列{an}中的任意一项均小于k. 3. 若数列{an}满足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．
(1) 设数列{an}为“凸数列”，若a1＝1，a2＝－2，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和； (2) 在“凸数列”{an}中，求证：an＋3＝－an，n∈N*；
(3) 设a1＝a，a2＝b，若数列{an}为“凸数列”，求数列前2011项和S2 011. (1) 解：a1＝1，a2＝－2，a3＝－3，a4＝－1，a5＝2，a6＝3，故S6＝0.
??an＋1＝an＋an＋2，
(2) 证明：由条件得?所以an＋3＝－an.
?an＋2＝an＋1＋an＋3，?
(3) 解：由(2) 的结论得an＋6＝－an＋3＝an，即an＋6＝an. a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b， ∴S6＝0.
由(2)得S6n＋k＝Sk，n∈N*，k＝1，?，6， 故S2 011＝S335×6＋1＝a1＝a.
4. 已知数列的前n项和为Sn，并且满足a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)． (1) 求{an}的通项公式；
4?(2) 令Tn＝??5?Sn，是否存在正整数m，对一切正整数n，总有Tn≤Tm？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
解：(1) 令n＝1，
由a1＝2及nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，① 得a2＝4，故a2－a1＝2，
当n≥2时，有(n－1)an＝Sn－1＋n(n－1)，② ①－②，得
nan＋1－(n－1)an＝an＋2n. 整理得an＋1－an＝2(n≥2)．
当n＝1时，a2－a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列， 故an＝2＋(n－1)×2＝2n.
6
n
4?2
(2) 由(1)得Sn＝n(n＋1)，所以Tn＝??5?(n＋n)． 4?故Tn＋1＝??5?
n
n＋1?Tn≥Tn＋1，?
[(n＋1)2＋(n＋1)]，令?
?T≥T，?nn－1
n
n＋1
[（n＋1）2＋（n＋1）]，
即
nn－1
2?4?（n2＋n）≥?4?[（n－1）＋（n－1）]，?5??5?
?4?（n2＋n）≥?4????5??5?
?
??
?即?
4
?5（n＋1）≥n－1，
解得8≤n≤9.
故T1
故存在正整数m对一切正整数n，总有Tn≤Tm， 此时m＝8或m＝9.
1. 数列中的数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同，数列可以看作是一个定义域为正整数集或其子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．
2. 根据所给数列的前几项求其通项，需要仔细观察分析，抓住特征：分式中分子、分母的独立特征，相邻项变化的特征，拆项后的特征，各项的符号特征和绝对值特征，并由此进行化归、归纳、联想．
??S1（n＝1），
3. 通项an与前n项和Sn的关系是一个十分重要的考点．运用时不要忘记讨论an＝?
?Sn－Sn－1（n≥2）.?
4
n≥（n＋2），5
3n2－n
17．、、[2014·江西卷] 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
3n2－n
17．解：(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，a1也符合上式，所以数列
2
{an}的通项公式为an＝3n－2.
2
(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要a2(3m－2)，即m＝3n2－4nn＝a1·am，即(3n－2)＝1·＋2.而此时m∈N*，且m＞n，
所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
1
16．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足an＋1＝，a＝2，则a1＝________．
1－an8
116. 2
7
n2＋n
16．、[2014·湖南卷] 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 16.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
n2＋n（n－1）2＋（n－1）
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
22
故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋?＋22n)＋(－1＋2－3＋4－?＋2n)．
记A＝21＋22＋?＋22n，B＝－1＋2－3＋4－?＋2n，
则A＝2（1－22n）2n＋1
1－2
＝2－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋?＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{b的前2n项和T＝A＋B＝22n＋
n}2n1＋n－2.
8