将点A(－2,2)，B(6,6)代入得 ??－2m＋n＝2，1?解得m＝，n＝3.
2?6m＋n＝6，?
1
∴y＝x＋3.
2
当x＝0时，y＝3. ∴E(0,3)．
(2)设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx，
?4a－2b＝2，?
将A(－2,2)，B(6,6)代入得?
?36a＋6b＝6，?
11
解得a＝，b＝－.
42
11
∴抛物线的解析式为y＝x2－x.
42
(3)
[来源:Zxxk.Com]
过点N作x轴的垂线NG，垂足为G，交OB于点Q，过B作BH⊥x轴于H.
11
设N(x，x2－x)，则Q(x，x)．
42
则S△BON＝S△QON＋S△BQN 11＝·QN·OG＋·QN·GH 221＝·QN·(OG＋GH) 21＝·QN·OH 21?1x2－1x??×6 ＝?x－2??2??439327
＝－x2＋x＝－(x－3)2＋(0 4244 27 ∴当x＝3时，△BON 面积最大，最大值为， 4 3 此时点N的坐标为(3，)． 4 (4)解：过点A作AS⊥GQ于S. 3 ∵A(－2,2)，B(6,6)，N(3，)， 4 35 ∴∠AOE＝∠OAS＝∠BOH＝45°，OG＝3，NG＝，NS＝，AS＝5. 44 在Rt△SAN和Rt△NOG中， 1 ∴tan∠SAN＝tan∠NOG＝，[来源:学§科§网Z§X§X§K] 4 ∴∠SAN＝∠ NOG， ∴∠OAS－∠SAN＝∠BOG－∠NOG， ∴∠OAN＝∠BON， ∴ON的延长线上存在一点P，使△BOP∽△OAN. 3 ∵A(－2,2)，N(3，)， 4 517 ∴在Rt△ASN中， AN＝AS2＋SN2＝. 4 OBOP 当△BOP∽△OAN时，＝， OAAN 6 2OP1517∴＝，得OP＝. 42 2517 4 过点P作PT⊥x轴于点T， PTNG1 ∴△OPT∽△ONG，∴＝＝. OTOG4 15172 设P(4t，t)，在Rt△POT中，有(4t)2＋t2＝()， 4 1515 ∴t1＝，t2＝－(舍去)， 44 15 ∴点P的坐标为(15，)． 4 15 将△OBP沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点P′(，15)． 4 1515 由以上推理可知，当点P的坐标为(15，)或(，15)时，△BOP与△OAN相似. [来源:Z 44 §xx§k.Com] (学生无此说明不扣分)