第一步：确定千位数 由于首位不能为第三步：确定十位数 因为千位和百位已从0，所以只能从2，5，6，7，8中任选一个数字，共有5种选法． 0，2，5，6，7，8中用去2个数字，所以十位只能从剩下的数字中选择，共有4种选法． 第二步：确定百位数
由于数字不允许重复使用，所以千位用过的数字百位不能再用，然而百位可以是0，所以在
第四步：确定个位数 因为千位、百位和十位已从0，2，5，6，7，
8中用去3个数字，所以
个位只能从剩下的数字中选择，共有3种选法．
2，5，6，7，8中去掉千位
用去的一个数字，百位共有5种选法．
根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5?5?4?3?300(个)．
【例 10】 用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？（4级） 【解析】 按位数来分类考虑：
⑴ 一位数只有1个3；
⑵ 两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成P22?2?1?2(个)不同的两位数，共可组成2?4?8(个)不同的两位数； ⑶ 三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成
36?4?24(个)不同的三位数； P3?3?2?1?6(个)不同的三位数，共可组成
⑷ 四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有P44?4?3?2?1?24(个)不同的四位数；
5⑸ 五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有P5?5?4?3?2?1?120(个)不同的五位数．
由加法原理，一共有1?8?24?24?120?177(个)能被3整除的数，即3的倍数．
【例 11】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？
（4级）
【解析】 可以分两类来看：
⑴ 把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有
P44?4?3?2?1?24(种)放法，对应24个不同的五位数；
⑵ 把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可
3以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有P3?6种选择．由乘法原
理，可以组成3?3?6?54(个)不同的五位数．
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由加法原理，可以组成24?54?78(个)不同的五位数．
【巩固】 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687
是第几个数？（4级）
【解析】 从高位到低位逐层分类： ⑴ 千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字
之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个
34?504?2016(个)． 位可有P9?9?8?7?504(种)排列方式．由乘法原理，有
⑵ 千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个
2数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即P8?8?7?56，由乘法原理，有
1?5?56?280(个)．
⑶ 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有1?1?6?7?42(个)． ⑷ 千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个． 综上所述，比5687小的四位数有2016?280?42?5?2343(个)，故比5687小是第2344个四位数．
【例 12】 由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008排在 个．（6
级）
【解析】 比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有2?3?3?18（种），比2008小的2位数有
2?3?6（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第2?18?6?2?1?29（个）．
【例 13】 千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个? （4级） 【解析】 千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为2:9，对应的十位数字取0:7，
每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就
行了，因此总共有8?P82个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取1:7，十位数字取3:9，共有7?P82个这样的四位数．
22所以总共有8?P8?7?P8?840个这样的四位数．
【例 14】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，
那么确保打开保险柜至少要试几次？（6级）
【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，
3；2，2，2，3六种．
6可以任意选择4个位置中的一个，第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，
其余位置放1，共有4种选择；
第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4?3?12(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．
综上所述，由加法原理，一共可以组成4?12?12?12?12?4?56(个)不同的四位数，即确保能打开
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保险柜至少要试56次．
【例 15】 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？（4级） 【解析】 在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转
化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．
3由排列数公式，共有：P6?6?5?4?120(种)不同的坐法．
【巩固】 幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？（4级） 【解析】 与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个
位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．
3由排列公式，共有：P6?6?5?4?120(种)不同的坐法．
【巩固】 10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种
不同的坐法？（4级）
【解析】 把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取
6个，排在6个不同位置的排列问题．
6 共有P10?10?9?8?7?6?5?151200(种)不同的坐法．
【例 16】 一个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以
分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？（4级）
【解析】 方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下
来以后，其余4个人对应4个位置，有P44?4?3?2?1?24(种)排列．由乘法原理， 4?24?9，故一共有696种不同的站位方法．
5方法二：五个人分配到五个位置一共有P5?5?4?3?2?1?120(种)排列方式，E能做中锋一共有
54P44?4?3?2?1?24(种)排列方式，则E不能做中锋一共有P5?P4?120?24?96种不同的
站位方法．
【例 17】 小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法? （4级） 【解析】 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块
糖分成了两部分．
我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，
如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：
○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．
不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．
【例 18】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24:30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个
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数字都不相同的时刻一共有多少个? （6级）
【解析】 设A:BCDE是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不
22同的数字，所以有P6种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有P7种选22法，所以共有P6×P7=1260种选法．
从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个．
模块二、捆绑法
在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体
当作一个整体捆绑在一起进行计算．
【例 19】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间有
多少种不同的排法？（4级）
【解析】 ⑴ 4男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一
个位置的人，有6种选择；第二步，确定第二个位置的人，有5种选择；第三步，排列第三个位置的人，有4种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一共有6?5?4?3?2?1?720种排法．
⑵ 根据题意分为两步来排列．第一步，先排4个男生，一共有4?3?2?1?24种不同的排法；第二步，将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法．根据乘法原理，一共有24?2?48种排法．
【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？（4级） 【解析】 分为三步：
第一步：4个男得先排，一共有4?3?2?1?24种不同的排法； 第二步：2个女的排次序一共有2种方法；
第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有5个位置可插． 根据乘法原理，一共有24?2?5?240种排法．
【例 20】 将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有多少种
不同的排列方法？（2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）（4级）
【解析】 （法1）七人排成一列，其中B要与C相邻，分两种情况进行考虑．
若B站在两端，B有两种选择，C只有一种选择，另五人的排列共有P55种，所以这种情况有
52?1?P5?240种不同的站法．
若B站在中间，B有五种选择，B无论在中间何处，C都有两种选择．另五人的排列共有P55种，所
5以这种情况共有5?2?P5?1200种不同的站法．
所以共有240?1200?1440种不同的站法．
（法2）由于B与C必须相邻，可以把B与C当作一个整体来考虑，这样相当于6个元素的全排列，另外注意B、C内部有2种不同的站法，
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所以共有2?P66?1440种不同的站法．
【巩固】6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A，B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若
A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？（6级）
【解析】 若A、B两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个
位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为P22?P55=2×120=240（种） A、B两个人不能相邻与A、B两个人必须相邻是互补的事件，因为不加任何条件的站法总数为P66=720（种），所以A、B两个人不能相邻的站法总数为720-240=480（种）．
【例 21】 某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少
先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？（6级）
【解析】 把4个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的5名同学一块儿进行排列，有
63个男少先队员，有P73?7?6 P6?6?5?4?3?2?1?720(种)排法．然后在七个空档中排列
4?5?210(种)排法，最后4个女少先队员内部进行排列，有P4?4?3?2?1?24(种)排法．由乘法原
理，这样的排法一共有720?210?24?3628800(种)．
【例 22】 学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：
（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？
（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？（6级）
【解析】 (1)要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里．因为有3名女生，考
虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位．则站法总数为：
P33?P44?6?24?144（种）
(2)根据题意，采用捆绑法，将所有女生看成一个整体，则站法总数为： ． P55?P33?120?6?720（种）
【例 23】 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同
类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？（6级）
【解析】 ⑴每种书内部任意排序，分别有4?3?2?1，5?4?3?2?1，3?2?1种排法，然后再排三种类型的
顺序，有3?2?1种排法，整个过程分4步完成．4?3?2?1?5?4?3?2?1?3?2?1?3?2?1?103680种，一共有103680种不同排法．
⑵方法一：首先将漫画书和童话书全排列，分别有4?3?2?1?24、5?4?3?2?1?120种排法，然后将漫画书和童话书捆绑看成一摞，再和3本故事书一起全排列，一共有5?4?3?2?1?120种排法，所以一共有24?120?120?345600种排法．
方法二：首先将三种书都全排列，分别有24、120、6种排法，然后将排好了顺序的漫画书和童话书，整摞得先后插到故事书中，插漫画书时有4个地方可以插，插童话书时就有5个地方可插，所以一
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