共有24?120?6?5?4?345600种排法．
【例 24】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如
果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？（4级）
【解析】 要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”．先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列， 再
分别在各类节目内部排列具体节目的次序．因此出场顺序总数为：
． P33?P22?P22?P33=144（种）
【例 25】 停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，
一共有多少种不同的停车方案? （4级）
【解析】 把4个空车位看成一个整体，与8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排列，所以共有
9P9?362880．
【例 26】 a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？（4级） 【解析】 解法一：插空法，先排c，d，e，有P33种排法．
在c，d，e三个人之间有2个空，再加上两端，共有4个空，a，b排在这4个空的位置上，a与b就不相邻，有P42种排法．
根据分步计数乘法原理，不同的排法共有 ． P33P42?72（种）
解法二：排除法，把a，b当作一个人和其他三个人在一起排列，再考虑a与b本身的顺序，有P44P22种排法． 总的排法为P55．
总的排法减去a与b相邻的排法即为a与b不相邻的排法，应为P55?P44P22?72（种）．
【巩固】 8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？（6级） 【解析】 n人的环状排列与线状排列的不同之处在于：a1a2a3?an、a2a3?ana1、a3a4?ana1a2、…、ana1?an?1在线状排列里是n个不同的排列，而在环状排列中是相同的排列．所以，n个不同的元素的环状排Pnn?Pnn??11． 列数为n甲、乙两人必须相邻，可把他们看作是1人（当然，他们之间还有顺序），总排列数为P22P66．从中扣除甲、乙相邻且乙、丙也相邻（注意，这和甲、乙、丙三人相邻是不同的．如甲在乙、丙之间合于后者，但不合于前者）的情况P22P55种．所以，符合题意的排法有P22P66?P22P55?1200（种）．
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模块三、排列的综合应用
【例 27】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？
（6级）
【解析】 先考虑给甲乙两人定位，两个人可以站在队伍从左数的一、四个，二、五个或三、六个，甲乙两人
要在内部全排列，剩下四个人再全排列，所以站法总数有：3?P22?P44?144（种）．
【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？
（6级）
【解析】 类似地利用刚才的方法，考虑给甲乙两人定位，两人之间有两个人、一个人、没有人时分别有3、4、
5种位置选取方法，所以站法总数有：(3+4+5)?P22?P44?576（种）．
【例 28】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边，
丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？（6级）
【解析】 先对丙定位，有4种站法，无论丙站在哪里，甲和乙一定有一个人有两种站法，一个人有三种站法，
剩下三个人进行全排列，所以站法总数有：4?3?2?P33?144（种）．
【例 29】 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不
能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？（6级）
【解析】 按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论：
如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置，那么丙还有6种站法，剩下的五个人进行全
排列，站法总数有：6?P55?720（种）
如果甲在队伍最靠右的位置，而乙不在队伍最靠左的位置，那么乙还有4种站法，丙还有5种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有： 4?5?P55?2400（种）
如果甲不在队伍最靠右的位置，而乙在队伍最靠左的位置，分析完全类似于上一种，因此同样有2400种站法
如果甲不在队伍最靠右的位置，乙也不在队伍最靠左的位置，那么先对甲、乙整体定位，甲、乙的位置选取一共有4?4?2?14（种）方法．丙还有4种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有： 14?4?P55?6720（种）
所以总站法种数为720?2400?2400?6720?12240（种）
【例 30】 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：
⑴ 甲不在中间也不在两端； ⑵ 甲、乙两人必须排在两端； ⑶ 男、女生分别排在一起；
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⑷ 男女相间．（6级）
【解析】 ⑴ 先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随
8意排，也就是8个元素全排列的问题，有P8?8?7?6?5?4?3?2?1?40320(种)选择．由乘法原
理，共有6?40320?241920(种)排法．
⑵ 甲、乙先排，有P22?2?1?2(种)排法；剩下的7个人随意排，有
72?5040?10080(种)排法． P7?7?6?5?4?3?2?1?5040(种)排法．由乘法原理，共有
⑶ 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有P22?2?1?2(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有
5P44?4?3?2?1?24(种)和P5?5?4?3?2?1?120(种)排法．
由乘法原理，共有2?24?120?5760(种)排法．
⑷ 先排4名男生，有P44?4?3?2?1?24(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有
524?120?2880(种)排法． P5?5?4?3?2?1?120(种)排法．由乘法原理，一共有
【例 31】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？
（1）七个人排成一排；
（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.
（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.
（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排．（6级）
7【解析】 （1）P（种）． 7?50406（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．P（种）. 6?7206（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×P6=1440(种)．
5（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．2?P (种)． 5?24025（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，P（种）. 5?P5?2400（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个
7位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．P（种）. 7?5040（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所
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5以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×P5×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑
特殊情况再去全排列．
【例 32】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、
乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？（6级）
【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，已知“甲和乙都未拿
到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，
33?3?6?54(种)不同的排法． 有P3?3?2?1?6(种)排法．由乘法原理，一共有
【例 33】 书架上有3本故事书，2本作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排．⑴ 如果同类的书不分开，
一共有多少种排法？⑵ 如果同类的书可以分开，一共有多种排法？（6级）
32【解析】 ⑴ 可以分三步来排：先排故事书，有P3?3?2?1?6(种)排法；再排作文选，有P2?2?1?2(种)排
法；最后排漫画书有1种排法，而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换，排列的先
36?2?1?6?72种排法． 后顺序有P3?3?2?1?6(种)．故由乘法原理，一共有
6⑵ 可以看成3?2?1?6(本)书随意排，一共有P6?6?5?4?3?2?1?720(种)排法．
若同类书不分开，共有72种排法；若同类书可以分开，共有720种排法．
【例 34】 一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少
种不同的串法？
⑴ 把7盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位． ⑵ 串起其中4盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位．（4级）
【解析】 ⑴ 可以先考虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有5种选择；然后把剩下的6盏灯随意排，
6 是一个全排列问题，有P6?6?5?4?3?2?1?720(种)排法．
由乘法原理，一共有5?720?3600(种)． ⑵ 先安排第一盏和第四盏灯．第一盏灯不是紫灯，有6种选择；第四盏灯有5种选择；剩下的5盏灯
26?5?20?600(种)． 中随意选出2盏排列，有P5?5?4?20(种)选择．由乘法原理，有
【例 35】 某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第
一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？（4级）
【解析】 某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时
段，一共有4种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有3种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有4种选择．剩下的5个节目随意
5安排顺序，有P5?5?4?3?2?1?120(种)选择．
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由乘法原理，一共有4?3?4?120?5760(种)不同的播放节目方案．
【例 36】 从6名运动员中选出4人参加4?100接力赛．试求满足下列条件的参赛方案各有多少种：
⑴ 甲不能跑第一棒和第四棒；
⑵ 甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．（6级）
【解析】 ⑴ 先确定第一棒和第四棒．第一棒是甲以外的任何一个人，有5种选择，第四棒有4种选择，剩下
的4个人中随意选择2个人跑第二棒和第三棒，有P42?4?3?12种选择．由乘法原理，一共有5?4?12?240(种)参赛方案．
4⑵ 先不考虑甲、乙的特殊要求，从6名运动员中随意选择4人参赛，有P考6?6?5?4?3?360种选择．
3虑若甲跑第一棒，其余5人随意选择3人参赛，对应P考虑若乙跑5?5?4?3?60种不同的选择，
第四棒，也对应60种不同的选择，但是，从360种中减去两个60种的时候，重复减了一次甲跑第一棒，且乙跑第四棒的情况．这种情况下，对应于第一棒，第四棒已确定只需从剩下的4人选择2人参赛的P42?4?3?12(种)方案，应加上．
综上所述，一共有360?60?2?12?252(种)不同的参赛方案．
【例 37】 一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：（6级）
⑴ 当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？
⑵ 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？
【解析】 ⑴ 先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有
7 P种)方法．第二步再排0404个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节 7?7!?7?6?5?4?3?2?1?(5 目全排列的问题，有P44?4!?4?3?2?1?24(种)方法．
根据乘法原理，一共有5040?24?120960(种)方法． ⑵ 首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是6个元素全排列的问题，一共有
6P6?6!?6?5?4?3?2?1?720(种)方法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于从
47个“×”中选4个来排，一共有P7?7?6?5?4?840(种)方法．
根据乘法原理，一共有720?840?604800(种)方法．
【巩固】 由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始
和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？（6级） 【解析】 先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的问题，有P44?4?3?2?1?24种排法；其次在
独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，
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