北京航空航天大学高数期末试题
解： 当
x?0,f?(x)?2xcos21x?sin1x；当x?0,f?(x)?1
?xcosx?0f?'(0)?lim?x?0?1?x?x?0?0f?'(0)?lim?x?0??x?0?x?1
故f (x)在x=0处不可导。
11?x?0?2xcos?sin?f?x???xx?1x?0?
11. (8分)设函数y?f(x)在(??,??)连续，在x?0时二阶可导，且其导函数
f?(x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y?f(x)的拐
点. y x a O
解：极大值点：x?ax?d 极小值点：x?b
b c d 拐点(0,f(0)),(c,f(c))
四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）
12. (9分)求不定积分 解：原式=
?(x?2)22x(x?1)2dx.
?(4x?1(x?1)1x?1e1e??3x?1)dx
=
4lnx??3lnx?1?c13. (9分)计算定积分
1?lnxdx.
e解：原式=
?1??lnx?dx??1e1elnxdx
??xlnx??1xe???????xlnx?x?1?2?2e
l1:x1?y2?
z?1314. (9分)已知直线，
l2:x?12?y?25?z?34,求过直线l1且平行于
直线l2的平面方程. 解：
???n?s1?s2?(1,2,3)?(2,5,4)?(?7,2,1) 11 / 45
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取直线l1上一点M1(0,0,1) 于是所求平面方程为
?7x?2y?(z?1)? 0)及y=0, x=1所围成的平面图形绕x15. (9分)过原点的抛物线y?ax (a?0
812轴一周的体积为51?. 求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.
2V?解：
??(ax)dx??a022x515?0?a52
2?a由已知得
52?81?5 故 a = 9 抛物线为：y?9x
11V?绕y轴一周所成的旋转体体积：
?2?x?9xdx?18?02x44?092?
五 综合题（每小题4分，共8分）
16. (4
分)设F(x)?(x?1)f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)?02.
证明：存在?（1???2）使得F??(?)?0。
证明：由f(x)在[1，2]上二阶可导，故F (x)在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F
(2) = 0
在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点x0,(1?x0?2)使F?(x0)?0
2F?(x)?2(x?1)f(x)?(x?1)f?(x)得F?(1)?0
在[1，x0]上对F?(x)用罗尔定理，至少有点?(1???x0?2)F??(?)?0 17. (4分).
解：（1）x?1为f(x)的最大值点。
22nf?(x)?(x?x)sinx22n，当0?x?1，f?(x)?(x?x)sinx?0；当x?1，
22nf?(x)?(x?x)sinx?0。f(1)为极大值，也为最大值。
（2）
f(1)?f(x)??2x0(t?t)sin2n22ntdt?f(1)122n
1(2n?2)(2n?3)
?10(t?t)sintdt??0(t?t)tdt?高等数学上B（07）解答
一、填空题：（共24分，每小题4分）
dy1．
y?sin[sin(x)]，则dx????2?2xcos[sin(x)]cosx22。
?2． 已知
3．
a1?x2dx??，a=__1______。
?e1elnxdx?2?2e。
x4． y?e过原点的切线方程为y?ex。
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5．已知6．a?
?f(x)?e32x?，则
9f'(lnx)xdx=x?c。
，b?2
32时，点(1,3)是曲线y?ax?bx的拐点。
二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）
cosx1．求y?(sinx)的导数。
解：y??(e2．求?解：?cosxlnsinx)??ecosxlnsinx(?sinxlnsinx?cotxcosx)
sinlnxdx。
sinlnxdx?xsinlnx??coslnxdx?xsinlnx?xcoslnx??sinlnxdx?12(xsinlnx?xcoslnx)?C
3．求解：
?x?5x?1x?5x?1222dx。
1?dx??2d(x?1)x?1222dx??5x?12dx
?4．设解：
x?1?5ln|x?x??e,f(x)??k??x?1,x?1|?C
x?0x?0k?1在点x?0处可导，则k为何值？
f??(0)?limxxkx?0?x?limxx?0?
e?1f??(0)?lim?1x?0?x k?1
11lim(????2222n??n?1n?25．求极限
1n?n22)。
解：
lim(n??n1n?122?11n?2222???1n?n22)?limn???k?1nn?k11?kn222
1n?limn???k?1
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?
?1011?x2dx=
?2x?y?z?0?和?x?y?z?021 ?ln(x?1?x)|0?ln(1?2)
?x?2y?z?1?0?6．求过点(2,2,0)且与两直线?x?y?z?1?0平行的平面别
为
12,,1方程。
解
s1?(1：
?,两
2?直
,线
?1的
s)2??(方向向量分
(2??1,,??11,,?11，))?((1?1,?,平面的法向量
n?(1,?2,?3)?(0,?1,?1)?(?1,1,?1)。
平面方程为x?y?z?0。
三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）
?x?Rcost?1．设?y?Rsintdydy2，求dx。
2解：dx2??cott
1?Rsint??1Rsint
3dy2 dx?(?cott)?t2．求
F(x)??x0t(t?1)dt在[?1,2]上的最大值和最小值。
16解：F?(x)?x(x?1)?0,x?0,x?1
F(0)?0,F(1)?F(?1)??10t(t?1)dt??56,
??10t(t?1)dt??,F(2)?5?20t(t?1)dt?23
2 最大值为3，最小值为6。
223．设y?y(x)由方程x(1?y)?ln(x?2y)?0确定，求y'(0)。 22解：方程x(1?y)?ln(x?2y)?0两边同时对x求导
?(1?y)?2xyy??22x?2y?x?2y2?0
将
x?0,y?5812
代入上式
y'(0?)
24．求由解：
V??3y?x与
y?x围成的图形绕y42轴旋转所得的旋转体的体积。
?10?(y?y)dy
四、证明题：(共12分，每小题6分)
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1．证明过双曲线xy?1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。
证明：双曲线xy?1上任何一点(x,y)的切线方程为
Y?y??1x2(X?x)
(0,y?1x),(2x,0) 切线与x轴、y轴的交点为故切线与OX,OY
s?x(y?1x)?2二个坐标轴所围成的三角形的面积为
b
2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点?使得
证明：令
F(x)?f(?)??xg(x)d?x?g(?)a?f(x)dx
?bxg(x)dx?f(x)dxa
) F(a)?F(b?b0，由Rolle定理，存在一点??[a,b]，使F?(?)?0，即
?af(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx?
高等数学上解答（07）
一、单项选择题（每小题4分，共16分）
(???x???)是 A 。 1．f(x)?xcosxe（A）奇函数； （B）周期函数；（C）有界函数； （D）单调函数
22．当x?0时，f(x)?(1?cosx)ln(1?2x)与 B 是同阶无穷小量。
?|sinx|（A）x； （B）x； （C）x； （D）x
?x?2y?z?0?3．直线?x?y?2z?03452与平面x?y?z?1的位置关系是 C 。
（A）直线在平面内；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。
???4．设有三非零向量a,b,c?????。若a?b?0, a?c?0??，则b?c? A 。
（A）0； （B）-1； （C）1； （D）3
二、 填空题（每小题4分，共16分）
1．曲线y?lnx上一点P的切线经过原点(0,0)，点P的坐标为(e,1)。
limtanx?xx(e?1)y2．
x?02x?132。
0 。
3．方程e?6xy?x?1?0确定隐函数y?y(x)，则y?(0)?4．曲线
?5y?x 、x?1与x轴所围图形绕x2轴旋转一周所得旋转体的体积为
。
三、解下列各题（每小题6分，共30分）
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