北京航空航天大学高数期末试题
设f(x),g(x)在x0的某去心邻域内可导则(I)limf(x)g(x)?A与(Ⅱ)lim,g?(x)?0且limf(x)?limg(x)?0,x?x0x?x0x?x0x?x0f?(x)?A关系是:g?(x)(A) (Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B) (Ⅰ)是(Ⅱ)的必要但非充分条件(C) (Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D) (Ⅰ)不是(Ⅱ)的充分条件，也不是必 要条件（ ） 答3、
设f(x)在?a，b?连续，F(x)? (A)．原函数一般表示式
?xaf(x)dt (a?x?b)，则F(x)是f(x)的 (B)．一个原函数差 (D)．在?a，b?上的定积分 答（ ） (C)．在?a，b?上的积分与一个常数之 4、
若已知x?0时，F(x)?1(A)1 (B) 2(C) ?1 (D) ?12
f??(0)??x0222(x?t)f??(t)dt的导数与x是等价无穷小，则 答（ 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)
1）
1、y?xe2、3
x2的铅直渐近线是_________________
?tan2xdx?__________.
、
，则f(x)在?a，a?T?(a?0)上的定积分与是______________
设f(x)为以T为周期的连续周期函数f(x)在?0，T?上的定积分的大小关系x34、直线1??????????????????? 。 三、解答下列各题
(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)
?y?2?z?75与平面3x?y?9z?17?0的交点为
写出f(x)?ln(1?x)?x?1?带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展开式.2、(本小题6分)
x2
16指出锥面4被平行于zox平面的平面所截得的曲线的名称。
四、解答下列各题
(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)
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?y2?z2北京航空航天大学高数期末试题
求 ?xdx.2、(本小题2分)
计算 x)dx． dx.?40(x?lnx3、(本小题5分)
求?x1?lnx4、(本小题5分)
求?4
．x(1?x)
5、(本小题11分)
1dx设 y(x)?(2?x)tan?2x，(12?x?1)求dy．五、解答下列各题
(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)
试证：F(t)?
??0ln(t?2tcosx?1)dx为偶函数．22、(本小题7分)
试证：对角线向量是A??3,?4,?1?,B??2,3,?6?的平行四边形是菱形，并计算其边长。 六、解答下列各题
(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分) 2、(本小题6分)
在抛物线y?x找出到直线3xk?4y?2的距离为最短的点
2设曲线的方程为y?f(x).已知在曲线的任意点(x,y)处满足y???6x,且在曲线上的(0,?2)点处的曲线的切线的方程为2x?3y?6,求此曲线的方程.3、(本小题8分)
经济学上,均衡价格p0定义为供给曲线与需求费者剩余定义为需求曲者剩余定义为供曲线与求曲线方程曲线相交时的价格,消线与直线p?p0间的面积(右图区域?),生产直线p?p0间的面积(右图区域?).已知需2
p(x)?1000?0.4x,供给曲线方程为者剩余.p(x)?42x.求均衡点及消费者剩余和生产
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北京航空航天大学高数期末试题
七、解答下列各题
(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)
设f(x)在x?x0处连续，g(x)在x0处不连续，试判定F(x)?f(x)?g(x)在x0处的连续性．
2、(本小题5分)
x?x0
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)
1、D 10分
x?x0x?x0若limf(x)??，limg(x)?A，试判定limf(x)?g(x)是否为无穷大？2、答 (B) 3、B 4、B
二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)
1、x?0
2、?tanx?x?c. 3、=
4、(2,4,3) 三、解答下列各题
(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)
f(x)??x?Rn(x)??10分 10分 10分
10分
x122??x33???1n?1xnnxn?1?Rn(x)
7分 10分
n?1(1??),?介于0与x之间2、(本小题6分)
2?x2y02??z???416?y?y0用y?y0所截得的曲线为?
4分
故y0?0时为一对相交直线
y0?0时为双曲线 10分
四、解答下列各题
(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)
?2xdx?x3x232?c. 10分
2、(本小题2分)
原式?(?2?233x2)40 7分 10分
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3、(本小题5分)
?lnxdxx1?lnx ??lnxd(lnx)1?lnx ??1?lnxd(1?lnx)??d(1?lnx)1?lnx 3?223(1?lnx)?21?lnx?c.
4、(本小题5分)
令 x?t
原式??22t1t2(1?t)dt ?2?2(1?1t?1)dt1t
?2?lnt?ln(t?1)?21
?2ln43 5、(本小题11分)
dy?y?(x)dx ? ?(2?x)tan2x???sec2?xln(1?x??222?x)?2?xtan2?dx?
五、解答下列各题
(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)
F(?t)???20ln(t?2tcosx?1)dx 令 x???u
F(?t)???02?ln(t?2tcosu?1)du ?
??0lnt(2?2tcosx?1)dx
?F(t)
2、(本小题7分)
因为A?B?3?2?(?4)?3?(?1)?(?6)?0，故A?B
因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。 （6分）2边长=?0.5?|A|???0.5?|B|?2
??1/222?132?(?4)2?(?2???1222
?2?1)?????2?2?3?(?6)?1/2??? 29 / 45
3分
7分 10分
4分 6分
8分 10分 2分
10分
2分
6分 8分 10分
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?523
（10分）
六、解答下列各题
(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)
设抛物线上任点(x,x2),到直线的距离为
2d?3x?4x?29?16?125(4x?3x?2) d??15(8x?3)唯一驻点 x?38d???85?0
故当x?38时,d最小
即点??3?8，9?64??到直线3x?4y?2?0的距离最短
(注如用切线平行于已知直线解也可以)
2、(本小题6分)
?y???y??dx?3x2?c (1) 又由2x?3y?6得y?23x?2?y?(0,?2)?23 代入(1)得
y??3x2?23
?y??(3x2?23)dx?x3?23x?c
再将(0,?2)代入得c??2,?y?x3?23x?2.
3、(本小题8分)
??p?1000?0.4x2?p?42x, 解出x?20.
均衡点p?840.
消费者剩余?20?0.4x20?(1000)?840?dx ?2133.33生产者剩余?200?840?42x?dx ?8400
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4分
8分 10分
3分
5分
10分
3分
6分 10分