江西省南昌市2018届高三第一次模拟测试
数学（理科）
本试卷分必考题和选做题两部分，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题部分 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的. 1．已知集合A?x?Ny?4?x，B??xx?2n?1,n?Z?，则A?B?( )
A．???,4?
B．?1,3?
C．?1,3,5?
D．?1,3?
2．欧拉公式eix?cosx?isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义
域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，e表示的复数位于复平面中的( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知角?的终边经过点P?sin47°,cos47°?，则sin???13°??( )
3311 B． C．? D．?
22224．已知奇函数f'?x?是函数f?x??x?R?的导函数，若x?0时f'?x??0，则( )
xi3??A．
A．f?0??f?log32??f??log23? C．f??log23??f?log32??f?0?
B．f?log32??f?0??f??log23? D．f??log23??f?0??f?log32?
?x?y?3?0?5．设不等式组?x?y?1?0表示的平面区域为M，若直线y?kx经过区域M内的点，则实数k的
?3x?y?5?0?取值范围为( ) A．(,2]
12
B．[,]
1423
C．[,2]
12
D．[,2]
436．平面内直角三角形两直角边长分别为a,b，则斜边长为a2?b2，直角顶点到斜边的距离为ab，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1,S2,S3，类比推理可22a?b23得底面积为S12?S2，则三棱锥顶点到底面的距离为( ) ?S3A．3S1S2S3 23S12?S2?S32S1S2S3 23S12?S2?S3 B．S1S2S3 23S12?S2?S33S1S2S3 23S12?S2?S3C． D． 1
7． 已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网
格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )
A．6?33 4
B．
15 2
C．6?3 D．8
8．执行如图程序框图，则输出的n等于( )
A．1 9．函数f?x?
x B．2 C．3 D．4
?e??e?x?sinxe2????x???的图象大致为( )
10．已知具有线性相关的五个样本点A1?0,0?，A2?2,2?，A3?3,2?，A4?4,2?，A5?6,4?，用最小二
乘法得到回归直线方程l1:y?bx?a，过点A1，A2的直线方程l2:y?mx?n，那么下列4个命题中，
①m?b,a?n；②直线l1过点A3；③??yi?bxi?a????yi?mxi?n?
i?1i?1555252④?yi?bxi?a??yi?mxi?n.(参考公式b?i?1i?1?xyii?1nni?nxy?nx2???xi?1ni?xyi?yi????xi?12i??xi?1n?x?2，a?y?bx)
正确命题的个数有( ) A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
??1?x?a???,x?a?111．设函数f?x????，若f?x?的最大值不超过1，则实数a的取值范围为( ) 2???x?1?a,x?a?1?A．[?,??)
32
B．(?,??)
32
C．[?5,0) 4
D．[?,?)
3254x2y2O为坐标原点，A,B是椭圆上两点，OA,OB的斜率存在并分别记为kOA、12．已知椭圆E:??1，
2412111?kOB，且kOA?kOB??，则的最小值为( ) OAOB2A．2 6
1B．
3 C．2 3 D．2 2 2
第Ⅱ卷（非选择题部分 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．(x?2)(3????14．平面向量a??1,m?，b??4,m?，若有2a?b1?1)展开式中的常数项为________________. x??????a?b?0，则实数m?________________.
?15．在圆x2?y2?4上任取一点，则该点到直线x?y?22?0的距离d??0,1?的概率为
________________.
16．已知台风中心位于城市A东偏北?(?为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速
移动，2.5小时后到达距城市A西偏北?(?为锐角)度的200公里处，若cos(???)?24，则25v?________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答。） (一)必考题：共60分。
17．(本小题满分12分)
已知等比数列?an?的前n项和为Sn，满足S4?2a4?1，S3?2a3?1.
(1)求?an?的通项公式；
(2)记bn?log2?an?an?1?，数列?bn?的前n项和为Tn，求证：
111??…??2. T1T2Tn18．(本小题满分12分)
某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在?50,100?，按照区间?50,60?，
?60,70?，?70,80?，?80,90?，?90,100?进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百
分制)为优秀.
(1) 完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”； (2) 从乙班?70,80?，?80,90?，?90,100?分数段中，按 分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发 言，记来自?80,90?发言的人数为随机变量X，求X 的分布列和期望.
3
19．(本小题满分12分)
如图，四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD?AB，
1AD?3，AC?BD?O，过O点作平面 2?平行于平面PAB，平面?与棱BC，AD，PD，PC分 别相交于点E，F，G，H. (1)求GH的长度；
(2)求二面角B?FH?E的余弦值.
20．(本小题满分12分) AB?BC?AP?已知抛物线C:y2?2px?p?0?的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A?x1,y1?，B?x2,y2?两点，y1y2??4.
(1)求抛物线方程；
(2)点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD?EF， 求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.
21．(本小题满分12分)
已知函数f?x??ln?ax??bx在点?1,f?1??处的切线是y?0. (1)求函数f?x?的极值；
mx21?e(2)当x?f?x??x?m?0?恒成立时，求实数m的取值范围(e为自然对数的底数).
ee
（二）选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡。 22． (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
?x?2cos?在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(?为参数)，以坐标原点为极点，
?y?2sin??2x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C的极坐标方程；
(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为??O，M，N，求△OMN的面积.
?6???R?，?=2????R?，设直线l1,l2与曲线C的交点为3
23． (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数f?x??2x?3a2.
(1)当a?0时，求不等式f?x??x?2?3的解集；
(2)对于任意实数x，不等式2x?1?f?x??2a成立，求实数a的取值范围.
4
数学（理科）参考答案
一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 C 5 C 6 C 7 B 8 C 9 A 10 B 11 A 12 C 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．4 14. ?2 15.
1 16.100 3三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17.【解析】（Ⅰ）设{an}的公比为q，由S4-S3=a4得，2a4-2a3=a4, 所以
a4=2， 所以q=2. 又因为S3=2a3-1， a3所以a1+2a1+4a1=8a1-1， 所以a1=1. 所以an=2n-1. （Ⅱ）由（Ⅰ）知bn?log2(an?1?an)?log2(2n?2n?1)?2n?1， 所以Tn?所以
1?(2n?1)n?n2， 211111111111???+ ++?+=2+2+?+2<1+++1?22?3(n?1)nT1T2Tn12n1创2(n-1)n111111?1?1????????2??2.
223n?1nn40?(12?20?28?20)2?3.333?2.706 18.（Ⅰ）依题意得K?40?40?32?482有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关” （Ⅱ）从乙班[70,80),[80,90),[90,100]分数段中抽人数分别为2，3，2 …
1，2，3 依题意随机变量X的所有可能取值为0，213C4C318C44P(X=0)=3=,P(X=1)==,3C735C735 大于等于80分的人数 小于80分的人数 合计 甲数 12 28 40 乙数 20 20 40 合计 32 48 80 X P 0 4 351 18 352 12 353 1 35 5