26．(10分) 用推理规则证明：A??B?C? , D?E?A , D?E?B?C 证明：(1) A??B?C? P (2) D?E?A P (3) D?E?B?C T(1)(2)I (4) D?E P (5) B?C T(3)(4)I
27．(10分) 设R是非空集合A上自反的二元关系，证明：R?1也是自反的。 证明：因为R是自反的，所以IA?R，则IA
28. (20分) 设G是整数加群，在G上定义：a*b?a?b?2，证明：G , *是交换群。 证明：由题设，运算*在G上是封闭的。
对任意的a,b,c?G，有
?1?R?1，故R?1也是自反的。
?a*b?*c??a?b?2?*c?a?b?2?c?2?a?b?c?4
a*?b*c??a*?b?c?2??a?b?c?2?2?a?b?c?4
则a*?b*c???a*b?*c，即运算*是可结合的。
对任意的a,b?G，有
a*b?a?b?2?b?a?2?b*a
所以运算*是可交换的。
? 2?G，对任意的a?G，有
2*a?a*2?a?2?2?a
所以2是关于运算*的幺元。
对任意的a?G，?4?a?G，有
a*?4?a???4?a?*a?a?4?a?2?2
所以关于运算*，元素a的逆元是4?a。 综上，G , *是交换群。
36
29. (15分) 设L , ? , ?是一个格，a , b?L，且a?b，令
S??x?L a?x?b?
其中?是格L中的偏序关系，证明：S , ? , ?是L , ? , ?的子格。 证明：对任意的x,y?S，则有a?x?b , a?y?b，从而有
a?a?x?y?b?b , a?a?x?y?b?b
即
a?x?y?b , a?x?y?b
因此x?y , x?y?L，故运算? , ?在S上是封闭的，所以S , ? , ?是L , ? , ?的子格。
30. 证明在格L , ? , ?中，?是格L中的偏序关系，a , b , c?L，若a?b?c，则有
?a?b???b?c???a?b???a?c?。
证明：因为a?b?c，所以
a?b?a，b?c?b，a?b?b，a?c?c
因此
?a?b???b?c??a?b?b，?a?b???a?c??b?c?b
故
?a?b???b?c???a?b???a?c?
31. (15分) 假设一家化工厂要将多种化学产品利用铁路从精炼厂运到炼油厂，但是根据EPA(美国环保署)的规定，这些化学产品不能全部都装在同一节车厢里运输，因为如果它们混和起来，就会产生剧烈反应，从而引发事故，为了使费用最低，厂长希望使用尽可能少的车厢，问最少使用多少车厢？其中共有六种化学产品，P1不能与P2、P4在同节车厢里运输，P2不能与P3或P3或P5一起运输，P3不能与P4一起运输，P5不能与P6一起运输。 解：在平面上画六个顶点分别表示六
兰6红5 种化学产
兰2 品，如果两种化学产品不能在一节车则在这两种产品所对应的顶点之间连而得到一个无向图，现对该图的顶点
37 厢中运输，一条边，从
红1 白3
着色，如图
兰4
所示，用了三种颜色，所以最少用三节车厢，第一节车厢装P2、P4和P6，第二节车厢装P3，第三节车厢装P1和P5。
32．(10分) 用推理规则证明：A??B?C? , D?E?A , D?E?B?C 证明：(1) A??B?C? P (2) D?E?A P (3) D?E?B?C T(1)(2)I (4) D?E P (5) B?C T(3)(4)I
33．(10分) 设R是非空集合A上自反的二元关系，证明：R?1也是自反的。 证明：因为R是自反的，所以IA?R，则IA
34. (20分) 设G是整数加群，在G上定义：a*b?a?b?2，证明：G , *是交换群。 证明：由题设，运算*在G上是封闭的。
对任意的a,b,c?G，有
?1?R?1，故R?1也是自反的。
?a*b?*c??a?b?2?*c?a?b?2?c?2?a?b?c?4
a*?b*c??a*?b?c?2??a?b?c?2?2?a?b?c?4
则a*?b*c???a*b?*c，即运算*是可结合的。
对任意的a,b?G，有
a*b?a?b?2?b?a?2?b*a
所以运算*是可交换的。
? 2?G，对任意的a?G，有
2*a?a*2?a?2?2?a
所以2是关于运算*的幺元。
对任意的a?G，?4?a?G，有
a*?4?a???4?a?*a?a?4?a?2?2
38
所以关于运算*，元素a的逆元是4?a。 综上，G , *是交换群。
35. (15分) 设L , ? , ?是一个格，a , b?L，且a?b，令
S??x?L a?x?b?
其中?是格L中的偏序关系，证明：S , ? , ?是L , ? , ?的子格。 证明：对任意的x,y?S，则有a?x?b , a?y?b，从而有
a?a?x?y?b?b , a?a?x?y?b?b
即
a?x?y?b , a?x?y?b
因此x?y , x?y?L，故运算? , ?在S上是封闭的，所以S , ? , ?是L , ? , ?的子格。
36. 证明在格L , ? , ?中，?是格L中的偏序关系，a , b , c?L，若a?b?c，则有
?a?b???b?c???a?b???a?c?。
证明：因为a?b?c，所以
a?b?a，b?c?b，a?b?b，a?c?c
因此
?a?b???b?c??a?b?b，?a?b???a?c??b?c?b
故
?a?b???b?c???a?b???a?c?
37. (15分) 假设一家化工厂要将多种化学产品利用铁路从精炼厂运到炼油厂，但是根据EPA(美国环保署)的规定，这些化学产品不能全部都装在同一节车厢里运输，因为如果它们混和起来，就会产生剧烈反应，从而引发事故，为了使费用最低，厂长希望使用尽可能少的车厢，问最少使用多少车厢？其中共有六种化学产品，P1不能与P2、P4在同节车厢里运输，P2不能与P3或P3或P5一起运输，P3不能与P4一起运输，P5不能与P6一起运输。
39
解：在平面上画六个顶点分别表示六品，如果两种化学产品不能在一节车则在这两种产品所对应的顶点之间连而得到一个无向图，现对该图的顶点所示，用了三种颜色，所以最少用三一节车厢装P2、P4和P6，第二节车厢节车厢装P1和P5。
兰4 红1 白3
兰6红5 兰2 种化学产厢中运输，一条边，从着色，如图节车厢，第装P3，第三
38．(10分)设?是从群G1 , *到群G2 , ?的同态映射，e1，e2分别是群G1 , *与G2 , ?的幺元，令
H??x?G1 ??x??e2?
证明：H , *是群G1 , *的子群。
证明：显然H?G1，由于??e1??e2，所以e1?H，因此H??。
对任意的x，y?H，则有
??x??e2，??y??e2
故
??x*y?1????x????y?1??e2????y???1?e2?1?e2
所以x*y?1?H，由子群判定定理，H , *是群G1 , *的子群。
39. (14分)设G,*是群，H是G的子群，在G上定义二元关系R如下：
对任意的a,b?G，a,b?R当且仅当a?1*b?H
证明：(1) R是G上的等价关系；
(2) 对任意的a?G，?a?R?aH。
证明：(1) 对任意的a?G，因为H是G的子群，所以e?a?1*a?H，有a,a?R，所以R是自反的。 对任意的a,b?R，则有a?1*b?H，因为H是G的子群，所以
?a有b,a?R，所以R是对称的。
?1*b??1?b?1*a?H
对任意的a,b，b,c?R，则有a?1*b?H，b?1*c?H，因为H是G的子群，所以
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