《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章 计数原理、随机变量及分布列第3课时 二
项式定理
考情分析 近几年高考二项式定理在理科加试部分考查，以后高考将会考查学生应用基础知识、解决实际问题的能力，难度将不太大． 考点新知 ①能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题. ②会用二项展开式以及展开式的通项，特别要注意有关二项式系数与项的系数的区别.
1. (选修23P32练习5改编)在(x－3)的展开式中，x的系数是________． 答案：1 890 解析：Tr＋1＝C10x
(－3)，令10－r＝6，r＝4，T5＝9C10x＝1 890x.
?1?12
2. (选修23P32练习6改编)?x－2?的展开式的常数项是________．
?x?答案：495
解析：展开式中，Tr＋1＝C12x
r
12－r
r
10－r
r
4
6
6
10
6
?1?rrr12－3r4·?－2?＝(－1)C12x，当r＝4时，T5＝C12＝495为?x?
常数项．
2222
3. (选修23P35习题2改编)若C3＋C4＋C5＋?＋Cn＝363，则自然数n＝________． 答案：13
322223222322
解析：C3＋C3＋C4＋C5＋?＋Cn＝363＋1，C4＋C4＋C5＋?＋Cn＝364，C5＋C5＋?＋Cn＝?3
＝Cn＋1＝364，n＝13.
727
4. (选修23P36习题12改编)已知(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋?＋a7x，那么a1＋a2＋?＋a7＝________．
答案：－2
77
解析：设f(x)＝(1－2x)，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋?＋a7＝(1－2)＝－1，令x＝0，得a0＝1，a1＋a2＋?＋a7＝－1－a0＝－2.
n
5. (选修23P35习题10改编)在(x＋y)的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能为________．
答案：11，12，13
解析：分三种情况：① 若仅T7系数最大，则共有13项，n＝12；② 若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n＝11；③ 若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n＝13，所以n的值可能等于11，12，13.
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1. 二项式定理
n0n1n－1rn－rrnn?
(a＋b)＝Cna＋Cnab＋?＋Cnab＋?＋Cnb(n∈N)．
n
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)的二项展开式，其
rrn－rr
中的系数Cn(r＝0，1，2，?，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的Cnab叫做二项式
rn－rr
展开式的第r＋1项(通项)，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项；Tr＋1＝Cnab．
2. 二项展开式形式上的特点 (1) 项数为n＋1.
(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3) 字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
01n－1n
(4) 二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cn，Cn. 3. 二项式系数的性质
(1) 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等． (2) 如果二项式的幂指数是偶数，中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
n01nn
(3) 二项式系数的和等于2，即Cn＋Cn＋?＋Cn＝2.
0
(4) 二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Cn＋213n－1
Cn＋?＝Cn＋Cn＋?＝2．[备课札记]
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