考向3 直线与椭圆的综合问题(高频考点)
命题视角 直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有： (1)由已知条件求椭圆的方程或离心率； (2)由已知条件求直线的方程； (3)中点弦或弦的中点问题； (4)弦长问题；
(5)与向量结合求参变量的取值．
31，?的【典例3】 (2014·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知过点??2?x2y2
椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点
abB关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
833?(2)若点B的坐标为?，，试求直线PA的方程；
?55?(3)记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，试问yM·yN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
[思路点拨] (1)根据椭圆定义求出a的值，再由c＝1求出b的值，就可得到椭圆的标准方程，(2)根据条件分别解出A，P点坐标，就可写出直线PA的方程，(3)先根据直线AB垂直x轴的特殊情况下探求yM，yN的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值．本题难点在如何利用条件消去参数．点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键．
[解] (1)由题意，得2a＝
2
3?2
?1－1?2＋??2－0?＋ 3?2
?1＋1?2＋??2－0?＝4，即a＝2，
x2y2
又c＝1，∴b＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
43
833?833?(2)∵B?，，∴P?－，－，又F(1，0)，∴kAB＝3， ∴直线AB：y＝3(x－1)，
5??55??5xy??4＋3＝1，
联立方程组?解得A(0，－3)，
??y＝3?x－1?，∴直线PA：y＝－
3
x－3，即3x＋4y＋43＝0. 4
2
2
(3)当kAB不存在时，易得yMyN＝－9，
1
当kAB存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(－x2，－y2)，
22
?x2＋x1??x2－x1??y2＋y1??y2－y1?x1y2x212y2∴＋＝1，＋＝1，两式相减，得＝－， 434343
∴
?y2＋y1??y2－y1?3y23
＝－＝kPA·kAB，令kAB＝k＝，则kPA＝－，
44k?x2＋x1??x2－x1?x2－1
33
∴直线PA方程：y＋y2＝－(x＋x2)，∴yM＝－(x2＋4)－y2，
4k4k3?x2＋4??x2－1?y24y2∴yM＝－－y2，∴直线PB方程：y＝·x，∴yN＝，
4y2x2x2?x2＋4??x2－1?4y2x2y22222
∴yMyN＝－3×－，又∵＋＝1，∴4y22＝12－3x2， x2x243?x2＋4??x2－1?＋4－x22∴yMyN＝－3×＝－9，所以yMyN为定值－9.,
x2【通关锦囊】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． (3)弦长问题．利用根与系数的关系、弦长公式求解．
(4)中点弦或弦的中点．一般利用点差法求解，注意判直线与方程是否相交． (5)与向量结合的问题，通常利用向量的坐标运算即可．
x2y23
【变式训练3】 (2013·天津高考)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x
ab343轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. 3
(1)求椭圆的方程；
→→→→
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC·DB＋AD·CB＝8，求k的值．
c3
[解] (1)设F(－c,0)，由＝，知a＝3c.
a3
?－c?2y26b
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有2＋2＝1，解得y＝±，
ab326b43
于是＝，解得b＝2，则b2＝2
33又因为a2－c2＝b2，从而a2＝3，c2＝1， x2y2
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
32
y＝k?x＋1?，??22
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组?xy消
＋＝1??32去y，得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
2
3k2－66k
根据根与系数的关系知x1＋x2＝－，xx＝. 2＋3k2122＋3k22
因为A(－3，0)，B(3，0)，
→→→→所以AC·DB＋AD·CB＝(x1＋3，y1)·(3－x2，－y2)＋(x2＋3，y2)·(3－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 2k＋12＝6＋2. 2＋3k2k＋12
由已知得6＋2＝8，解得k＝±2.
2＋3k2
2
掌握1条规律 椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系
x2y2
给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上?m>n>0；椭圆的焦点在y轴上?0 mn熟记2种方法 求椭圆标准方程的方法 1．定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． 2.待定系数法：设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出a2，b2. 掌握3种技巧 与椭圆性质、方程相关的三种技巧 1．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)． 2.待定系数法求椭圆方程，应首先判定是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点；(2)对称轴是否为坐标轴．若题目涉及直线与椭圆相交，注意整体代入、设而不求的思想方法运用． 3.椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c. 规范解答之11直线与椭圆的综合问题 x2y2 (14分)(2014·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右 ab焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C. 41?(1)若点C的坐标为??3，3?，且BF2＝2，求椭圆的方程； (2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值． 3 解：设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)． (1)因为B(0，b)，所以BF2＝b2＋c2＝a. 又BF2＝2，故a＝2.(2分) 1619941?x222?因为点C?3，3?在椭圆上， 所以2＋2＝1，解得b＝1.(4分) 故所求椭圆的方程为＋y＝1.(6分) ab2xy (2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上， 所以直线AB的方程为＋＝1. cb ?解方程组?xy ?a＋b＝1， 2 222xy ＋＝1，cb ??得?b?c－a? y＝??a＋c，2 2 1 222a2cx1＝22，a＋c 22??x2＝0，2a2cb?c－a????所以点A的坐标为?22，22?. a＋c??a＋c?y＝b.?2 ?2acb?a－c??又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为?22，22?.(8分) a＋c??a＋c b?a2－c2? －0 a2＋c2b?a2－c2?b?a2－c2??b?b 因为直线F1C的斜率为2＝2，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以2·－ 2acc3ac＋c33ac＋c3?c?－?－c?a2＋c2＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2. 15故e2＝，因此e＝.(14分), 55【智慧心语】 易错提示：(1)忽略a，b，c三者的关系，造成运算量大而出现错误； xy (2)不知把直线BF2的方程写成截距式＋＝1，导致无法得出关于a，b，c的等式； cb(3)方程整理错误； (4)方程求解错误． 防范措施：(1)注意题已知条件关系的挖掘； (2)写直线方程时，要注意分析已知条件，选取恰当的形式； (3)要强化化简及运算能力． x2y2 【类题通关】 (2014·苏州市高三调研测试)如图，已知椭圆2＋2＝1(a>b>0) ab1 2e，?在椭圆上(e为椭圆的离心率)． 的右顶点为A(2,0)，点P?2?? (1)求椭圆的方程； →→→→ (2)若点B，C(C在第一象限)都在椭圆上，满足OC＝λBA，且OC·OB＝0，求实数λ的值． cc21 [解] (1)由条件，a＝2，e＝，代入椭圆方程，得＋2＝1.∵b2＋c2＝4，∴b2＝1，c2＝3. 244bx22 所以椭圆的方程为＋y＝1. 4 x22 (2)设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y＝kx，代入椭圆方程＋y＝1即x2＋4y2＝4， 4 4 222 得(1＋4k2)x2＝4，∴x＝ 2? . 则C? ?1＋4k222k?，?. 1＋4k21＋4k2? 又直线AB方程为y＝k(x－2)，代入椭圆方程x2＋4y2＝4，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0. 2?4k2－1?－4k?2?4k2－1??，∵xA＝2，∴xB＝. 则B??. 1＋4k2?1＋4k21＋4k2?→→2?4k2－1?－4k22k ∵OC·OB＝0，∴＋·＝0. 2·21＋4k1＋4k21＋4k1＋4k212 ∴k2＝.∵C在第一象限，∴k>0，k＝. 22→?∵OC＝? 22k?→?2?4k2－1?4k?4k??4 2，2， 2，2?＝2，2?，BA＝?2－1＋4k1＋4k??1＋4k1＋4k?1＋4k???1＋4k →→ 由OC＝λBA，得λ＝课堂练习： 一、填空题 k2＋. ∵k＝ 1423，∴λ＝. 22 y2 1．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0 b 2 于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________． y2 [解析] 设点B的坐标为(x0，y0)．∵x＋2＝1， ∴F1(－1－b2，0)，F2(1－b2，0)． b 2 ∴AF2⊥x轴，∴A(1－b2，b2)． →→ ∵|AF1|＝3|F1B|，∴AF1＝3F1B， ∴(－21－b2，－b2)＝3(x0＋1－b2，y0)． 5b22∴x0＝－1－b，y0＝－. 33 5b5by2 －1－b2，－?. 将B?－1－b2，－?代入x2＋2＝1，得b2＝. ∴点B的坐标为?3?3??3?3b333 ∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1. [答案] x2＋y2＝1 22 x2y2 2．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B ab两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________________． 2 2 2 ? [解析] 设A(x，y)，B(x，y)， 则?xy ?a＋b＝1. ② 1 1 2 2 222222x2y211 2＋2＝1， ①ab ?x1＋x2??x1－x2??y1－y2??y1＋y2?y1－y2b2?x1＋x2? ①－②得＝－. ∴＝－2. a2b2x1－x2a?y1＋y2? 0－?－1?1b2b21 ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝2. 而kAB＝＝，∴2＝，∴a2＝2b2， a2a23－1 5