《功和能》专题辅导
一． 动能定理、机械能守恒定律
1．功：力和力的方向上位移的乘积称为功。即W?Fscos?
2．功率：作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率，表达式为P?3．质点动能定理：
W。 t?W外?1122mv2?mv1 224．常见的几种势能
（1）重力势能： Ep?mgh
（2）弹簧的弹性势能：
EP?12kx2
（3）引力势能：
EP??GMmr
5．机械能守恒定律：在只有重力、弹力或万有引力做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变．
例题1．如图所示，在光滑的水平面上有一平板小车M正以速度v向右运动。现将一质量为m的木块无初速地放上小车，由于木块和小车间的摩擦力的作用，小车的速度将发生变化。为使小车保持原来的运动速度不变，必须及时对小车施加一向右的水平恒力F，当F作用一段时间后把它撤去时，木块恰能随小车一起以速度v共同向右运动。设木块和小车间的动摩擦因数为?，求：（1）从将木块m释放到木块与小车获得共同速度的时间内，木块和小车的位移各为多少？(2)在上述过程中，水平恒力F对小车做多少功？
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例题2．表面光滑半径为R的半球固定在水平面上。最高点有一小球处于静止状态。若稍有扰动，小球将沿球面滑下，求小球脱离球面时下落的高度等于多少时。
例题3．质量为4×105kg的火车沿平直轨道行驶，其速度从36km/h匀加速增加到72km/h的过程中，列车行驶距离为5km，发动机输出功率恰好增加到额定功率。随后将保持额定功率，若阻力大小为车重的0.002倍。取g=10m/s2。则 （1） 机车发动机额定功率为多大？ （2） 列车最大速度为多少？
例题4．一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示。现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。已知管筒半径r = 0.100m，井的半径R = 2r，水的密度ρ=1.00×103kg/m3，大气压p0=1.00×105Pa。求活塞上升H =9.00m的过程中拉力F所做的功。（井和管在水面以上及水面以下的部分足够长。不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g=10m/s2。） 1．（***）在静止水面上方，有一横截面积S、长为L、密度ρ=ρ0/4（其中ρ0是水的密度）圆柱体A，圆柱体A的底面与水平面平行，且圆柱A的下底面与水面的距离为L。现使圆柱体A从静止开始释放，若不计水的粘滞阻力，试求： （1）圆柱A在水中的最大速度； （2）圆柱体A浸入水中的最大深度。
2．（***）如图所示，质量分别为m和M的A、B两重物用劲度系数为k Am的轻弹簧竖直地连接起来，使弹簧为原长，从静止状态自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态，当重物A下降h距离时，重物B刚好与地面相碰。假定碰撞后的瞬间重物B的速度为零。为使重物A反弹时能将
BMh重物B提离地面，试问下落高度h至少应为多少？
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3．（***）三个半径都为R、质量分别为mA=2mB=2mC=2m的均质球放置在地面上，如图所示。已知地面及球面均光滑，且此三球的球心在同一竖直平面内，起始时刻三球均为静止。求A球（边缘）落地时的速度。
A
CB
4. （***）如图所示，一轻绳通过无摩擦的定滑轮与放在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在光滑竖直杆上的物体m2连接，图中定滑轮到竖直杆的水平距离为
3m，又知物体m2由图中位置从静止开始下滑1m时，m1和m2受力恰好平
衡。求：⑴m2下滑过程中的最大速度。⑵m2沿竖直杆能下滑的最大距离。
m2AB
?
m1C
30?
5．（****）一质量为M的圆环用线悬挂着，将两个质量均为m的有孔小珠套在此环上，且可以在环上做无摩擦滑动，如图所示。现在同时将两个小珠从环的顶部释放，并沿相反方向自由滑下。求当m与M的关系满足什么条件时，大环将升起来？并求出大环开始上升时两小珠与环心O连线的夹角等于多少？ O 6．（****）在航天飞船上，如图所示，有一个长度l＝20厘米的圆筒，绕着与筒的长度方向相垂直的轴OO1以恒定的转速ω＝100转/分旋转。筒的近轴端离开轴线OO1的距离为d＝10厘米，筒内装满非常粘稠、密度为ρ＝1.2克/厘米3的液体。有一颗质量为m1＝1.0毫克、密度ρ1=1.5克/厘米3的粒子从圆筒的正中部释放（释放时粒子相对于圆筒为静止），试求该粒子在到达筒端的过程中克服液体的粘滞阻力所作的功。如果这个粒子的密度是ρ11＝1.0克/厘米3，其他条件均不变，则粒子在到达筒端的过程中克服粘滞阻力所作的功又是多少？
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7．（****）如图所示，一质量 M=30Kg 的楔形木块 OABC 静止在水平地面上，其斜面段 AB 的倾角， BC 段的倾角α =45o ， AB 段与 BC 段连接处（ B ）为一非常短的光滑圆弧，现将一质量的 m=4Kg 小物块（可视为质点），放在斜面上离地面高h1 =2.8m 的 A 处，然后放手，令小物块从静止开始斜面下滑，已知小物块与斜面之间无摩擦，木块与地面间的最大静摩擦系数和滑动摩擦系数为μ=0.06，B 处离桌面的高度h2 =2m ，如果不计小物块经过处 B 时(β =60o )物块及木块速度大小的改变，求小物块从斜面上 A 处滑动到斜面底部 C 处整个过程中小物块对木块所做的功（取重力加速度 g=10ms-2 ） 8．（*****）缓冲器是用来减小车辆间冲击作用的装置，如图是一种常见的摩擦缓冲器的断面简化示意图。图中N是缓冲器的弹簧盒。C和D是两块完全相同的、截面为梯形的楔块。两楔块上、下对称放置，左、右端分别与垫板P、Q相互接触，楔块的斜面与水平面的夹角均为a。A是劲度系数为k1的弹簧，两端分别与C、D固连。B是劲度系数为k2的弹簧，一端与Q固连。另一端与弹簧盒的壁固连。楔块C、D与各接触面之间均可滑动，动摩擦因数均为?。
工程上用吸收率来表示缓冲器性能的优劣。则定吸收率时，将缓冲器的右侧固定，左侧用实验车由左向右撞击垫板P。在压缩阶段，在冲击力F作用下，缓冲器的弹簧被压缩至最紧（但未超过弹性限度）时，加在P上的外力F做功W；在弹簧恢复的过程中，缓冲器反
W?W1抗外力做功W，定义吸收率为??，吸收率越大，则缓冲器性能越好。
W1
已知某种摩擦缓冲器的参数为k1=1.2×107N/m，k2=1.5×106N/m，?=0.25，a=220。由于技术上的需要，各弹簧在组装时就处于压缩状态，A的压缩量为x10=1×10-3m，B的压缩量为x20=4×10-2m，B弹簧可以在外力作用下再压缩的最大量为?xm?6.3×10-2m。若弹簧、楔块和垫板的质量均可忽略，
求这台缓冲器的吸收率。 9．（*****）为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU（AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 ×1011 m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径Re = 6.37 ×106 m ，地面处的重力加速度g = 9.80 m / s2 ，不考虑空气的阻力．
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二．动量定理、动量守恒定律
1．动量定理：动量定理的内容是物体的动量增量等于物体所受外力的总冲量，表达式为：
Ft?mv2?mv1
2．动量守恒定律：动量守恒定律的内容：一个相互作用的物体系统不受外力作用，或所受
外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。
m1v1+ m2v2= m1v1'+ m2v2'
3．碰撞：直接作用，时间短，内力远大于 外力。
按碰撞前后系统的动能损失分类，碰撞可分为弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞。
例题1．一艘帆船在静水中顺风飘行，风速为v0，问：船速为多大时，风供给船的功率最大？（设帆面是完全弹性面，且与风向垂直）
例题2．如图长为0.51m的木板A，质量为1kg，板上右端有物块B，质量为3kg。它们一起在光滑的水平面上向左匀速运动。速度v0=2.0m/s。木板与等高的竖直固定挡板C发生碰撞，时间极短，没有机械能的损失。物块与木板间的动摩擦因数μ=0.5，取g=10m/s2。求： 1．第一次碰撞后，A、B共同运动的速度大小和方向。 2．第一次碰撞后，A与C之间的最大距离。
B3．A与固定的挡板C碰撞几次，B可以脱离A板。 AC
例题3．如图所示，长木板A右边固定着一个挡板，包括挡板在内的总质量为1.5M，静止在光滑的水平地面上.小木块B质量为M，从A的左端开始以初速度v0在A上滑动，滑到右端与挡板发生碰撞，已知碰撞过程时间极短，碰后木块B恰好滑到A的左端就停止滑动.已知B与A间的动摩擦因数为μ，B在A板上单程滑行长度为l.求：
2（1）若μl=3v0，在B与挡板碰撞后的运动过程中，摩擦力
160g对木板A做正功还是负功？做多少功？
（2）讨论A和B在整个运动过程中，是否有可能在某一段时间里运动方向是向左的.如果不可能，说明理由；如果可能，求出发生这种情况的条件.
例题4．如图所示，登月飞船以速度v0绕月球做圆周运动。已知飞船质量m=1.2×104kg，离月球表面的高度h=100km，飞船在A点突然向前做短时间喷气，喷气的相对速度u=1.0×104m/s，喷气后飞船在A点的速度减为vA，于是飞船将沿新的椭圆轨道运行。为使飞船能在图中的B点着陆（A、B连线通过月球中心，即A、B点分别是椭圆轨道的远月点和近月点），试问喷气时需消耗多少燃料？已知月球半径R=1700 km，月球表面的重力加速度g=1.7m/s2。
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