南京金陵中学2011年高考数学预测卷2
（满分160分，考试时间120分钟）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．命题“若一个数是负数，则它的平方数正数”的逆命题是 ． 2．设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，a－5}，M?U，eUM＝{5，7}，则实数a＝ ．
3．某工厂生产了某种产品3000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则乙生产线生产了 件产品．
4．若f(x)＝asin(x??4)＋3sin(x??4)是偶函数，则实数a＝ ．
5．从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是 ．
6．如右图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程，y＝－x＋5，在f(3)－f/(3)＝ ．
7．定义某种新运算?：S＝a?b的运算原理如图所示，则5?4－3?6＝ ．
8．如图，四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝1，则(AB+DC)?(AC+BD)＝ ．
9．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为 ．
10．若A，B，C为△ABC的三个内角，则为 ．
11．双曲线
xa22????????????????4A＋
1B?C的最小值
?yb22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30?的
直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝ ．
12．在平面直角坐标系中，点集A＝{( x，y) |x2＋y2≤1}，B＝{( x，y) | x≤4，y≥0，3x－4y≥0}，则点集Q＝{( x，y) |x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}所表示的区域的面积为 ．
13．已知函数f(x)＝x3＋(a?1)x2＋3x＋b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是 ．
14．定义函数f(x)＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数， 如：[1.5]＝1，[?1.3]
＝－2．当x∈[0，n)(n∈N?)时，设函数f(x)的值域为A，记集合A中的元素个数为an，则式子
an?90n的最小值为 ．
二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若AB?BC＝?????????32，b＝3，求a＋c的值；
（2）求2sinA?sinC的取值范围．
16．（本小题满分14分）
如图，四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求点E到平面ACD的距离．
17．（本小题满分14分）
如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函数y＝Asin(?x??)(A＞0，
?＞0，
?2＜?＜?)，x∈[－3，0]的图象，且图象的最高点为
B(－1，32)；赛道的中间部分为3千米的水平跑到CD；赛
?E． 道的后一部分为以O圆心的一段圆弧D（1）求?，?的值和∠DOE的值；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记∠POE＝?，求当“矩形草坪”的面积最大时?的值．
18．（本小题满分16分） 在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，△AOB的内切圆为圆M．
（1）如果圆M的半径为1，l与圆M切于点C (
32，1＋32)，求直线l的方程；
（2）如果圆M的半径为1，证明：当△AOB的面积、周长最小时，此时△AOB为同一个三角形；
（3）如果l的方程为x＋y－2－2＝0，P为圆M上任一点，求PA2＋PB2＋PO2的最值．
19．（本小题满分16分）
已知数列?an?满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N?都有a2m?1＋a2n?1＝2am?n?1＋
2(m?n)
2（1）求a3，a5；
（2）设bn＝a2n?1－a2n?1( n∈N?)，证明：?bn?是等差数列；
（3）设cn＝(an?1－an)qn?1( q≠0，n∈N?)，求数列的前n项的和Sn．
20．（本小题满分16分）
对于函数y＝f(x)，x∈(0，??)，如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么f(a)，
． f(b)，f(c)也是一个三角形的三边长， 则称函数f(x)为“保三角形函数”
对于函数y＝g(x)，x∈[0，??)，如果a，b，c是任意的非负实数，都有g(a)，g(b)，
． g(c)是一个三角形的三边长，则称函数g(x)为“恒三角形函数”
（1）判断三个函数“f1(x)＝x，f2(x)＝2x，f3(x)＝3x2(定义域均为x∈(0，??))”中，那些是“保三角形函数”？请说明理由；
（2）若函数g(x)＝
x?kx?1x?x?122，x∈[0，??)是“恒三角形函数”，试求实数k的取值
范围；
（3）如果函数h(x)是定义在(0，??)上的周期函数，且值域也为(0，??)，试证明：h(x)既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．
参考答案
1．若一个数的平方是正数，则它是负数．解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为：“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
2．8．解析：由a－5＝3，得a＝8．
3．1000．解析：因为a，b，c构成等差数列，根据分层抽样的原理，所以甲、乙、丙三条生产线生产的产品数也成等差数列，其和为3000件，所以乙生产线生产了1000件产品．
4．－3．解析：由f(x)是偶函数可知，f(?x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，即
asin(?x?1?4)＋3sin(?x??4)＝asin(x??4)＋3sin(x??4)，化简得2a＝－6，a＝－3．
5．．解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有5×5＝25种，数字
5之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，所以数字和恰好等于4的概率是P＝
15．
6．3．解析：函数y＝f(x)的解析式未知，但可以由切线y＝－x＋5的方程求出f(3)＝2，而f/(3)＝k切＝－1，故f(3)－f/(3)＝3．
7．1．解析：由题意知5?4＝5×(4＋1)＝25，3?6＝6×(3＋1)＝24，所以5?4－3?6＝1．
????????????????????????????????????????8．2．解析：(AB+DC)?(AC+BD)＝(AC+CB+DB+BC)?(AC+BD) ????2????2????????????????????????????????＝(AC+DB)?(AC+BD)＝(AC-BD)?(AC+BD)＝AC?BD＝2．
9．1︰2︰3．解析：不妨设正方体的棱长为1，则这三个球的半径依次为从而它们的表面积之比为1︰2︰3．
10．．解析：因为A＋B＋C＝?，且(A＋B＋C)·(
?B?CAAB?C4A1B?C994A12，22，32，
＋
1B?C)＝5＋4·B?CAB?CA＋
AB?C≥5＋24??＝9，因此＋≥
?，当且仅当4·＝
AB?C，即A
＝2(B＋C)时等号成立．
11．3．解析：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30?，F1F2＝2c，所以MF1＝
2ccos30?43＝43233c，MF2＝2c?tan30?＝3c＝233c，故e＝
ca233c．所
以2a＝MF1－MF2＝3c－＝3．
12．18＋?．解析：如图所示，点集Q是由三段圆弧以及连
S?OPQ＋SOABP＋SPCDQ接它们的三条切线围成的区域，其面积为：
＋SOFEQ＋?＝
12×4×3＋(3＋4＋5)×1＋?＝18＋?．
13．(－3，－2)．解析：由题意知，三个交点分别为(1，0)，