(x1，0)，(x2，0)，且0＜x1＜1＜x2．
由f(1)＝0可知b＝－a－3，所以f(x)＝x3＋(a?1)x2＋3x＋b＝(x－1)(x2＋ax＋a＋3)，故x2＋ax＋a＋3＝0的两根分别在(0，1)，(1，??)内．
令g(x)＝x2＋ax＋a＋3，则??g(0)?0，?g(1)?0，得－3＜a＜－2．
14．13．解析：当x∈[0，1)时，f(x)＝[x[x]]＝[x?0]＝0； 当x∈[1，2)时，f(x)＝[x[x]]＝[x?1]＝[x]＝1；
当x∈[2，3)时，再将[2，3)等分成两段，x∈[2，)时，f(x)＝[x[x]]＝[x?2]＝[2x]25＝4；x∈[，3)时，f(x)＝[x[x]]＝[x?2]＝[2x]＝5．
25类似地，当x∈[3，4)时，还要将[3，4)等分成三段，又得3个函数值；将[4，5)等分成四段，得4个函数值，如此下去．当x∈[0，n)(n∈N?)时，函数f(x)的值域中的元素个数为an＝1＋1＋2＋3＋4＋?＋(n－1)＝1＋
12(n?182n)－
12n(n?1)2n，于是
an?90n＝
n2＋
91n－
12＝
，所以当n＝13或n＝14时，
an?90的最小值为13．
?31215．解析：（1）因为A，B，C成等差数列，所以B＝因为AB?BC＝?????????32．
32，所以accos(??B)＝?32，所以ac＝，即ac＝3．
因为b＝3，b2?a2?c2?2accosB，所以a2?c2?ac＝3，即(a?c)2?3ac＝3． 所以(a?c)2＝12，所以a＋c＝23． （2）2sinA?sinC＝2sin(因为0＜C＜
2?32?3?C)?sinC＝2(3232cosC?12sinC)?sinC＝3cosC．
，所以3cosC∈(?32，3)．
所以2sinA?sinC的取值范围是(?，3)．
16．解析：（1）连结OC．因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD．因为BO＝DO，CB＝CD，所以CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝3．而AC＝2，所以AO2?CO2＝AC2，所以∠AOC＝90?，即AO⊥OC．因为BD?OC＝O，所以AO⊥平面BCD．
（2）设点E到平面ACD的距离为h．因为VE?ACD＝VA?CDE，所以h?S?ACD＝
313?AO?S?CDE．
1
在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝2，所以S?ACD＝?2?22?(2122)＝272．
而AO＝1，?S?CDE＝?2134?2＝232，所以h＝
AO?S?CDES?ACD1?32＝21．
772＝所以点E到平面ACD的距离为217．
T417．解析：（1）依题意，得A＝32，
32sin(＝2，因为T＝
2??，所以?＝
?4，所以y＝
?4x??)．
32sin(?当x＝－1时，
?4??)＝32，由
?2＜?＜?，得??6?4??＝
?2，所以?＝
?33?4．
又x＝0时，y＝OC＝3，因为CD＝3，所以∠COD＝，从而∠DOE＝．
（2）由（1）可知OD＝OP＝23，“矩形草坪”的面积 S＝(23sin?)(23cos??2sin?)＝43(3sin?cos??sin2?) ＝43(32sin2??12cos2??12)＝43sin(2???6)?23，
其中0＜?＜
?3，所以当2???6＝
?2，即?＝
33?6时，S最大．
33x＋3218．解析：（1）由题可得kMC＝3，kl＝?．所以l：y＝?＋1．
（2）设A(a，0)，B(0，b) (a＞2，b＞2)，则l：bx＋ay－ab＝0．由题可得M (1，1)． 所以点M到直线l的距离d＝|b?a?ab|a?b22＝1，整理得(a－2)(b－2)＝2，即ab－2(a＋b)
＋2＝0．于是ab＋2＝2(a＋b)≥4ab，ab≥2＋2，ab≥6＋42．当且仅当a＝b＝2＋2时，ab＝6＋42．
所以面积S＝ab≥3＋22，此时△AOB为直角边长为2＋2的等腰直角三角形．
21周长L＝a＋b＋a2?b2≥2ab＋2ab＝(2＋2)·ab≥(2?2)2＝6＋42，此时△AOB为直角边长为2＋2的等腰直角三角形．
所以此时的△AOB为同一个三角形．
（3）l的方程为x＋y－2－2＝0，得A(2＋2，0)，B(0，2＋2)，?M：(x?1)2
＋(y?1)2＝1，设P(m，n)为圆上任一点，则(m?1)2＋(n?1)2＝1，m2＋n2＝2(m＋n)－1，
(m?1)＋(n?1)＝1≥
2222(m?n?2)2222，2－2≤m＋n≤2＋2．
2)＝(9＋82)－(222PA＋PB＋PO＝3m＋3n－(4＋22)(m＋n)＋2(2?2－2)(m＋n)．
当m＋n＝2－2时，(PA2?PB2?PO2)max＝(9＋82)－(22－2)( 2－2)＝17＋
22．此时，m＝n＝1－22．
当m＋n＝2＋2时，(PA2?PB2?PO2)min＝(9＋82)－(22－2)( 2＋2)＝9＋
62．此时，m＝n＝1＋
22．
19．解析：（1）由题意，令m＝2，n＝1，可得a3＝2a2－a1＋2＝6，再令m＝3，n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20．
（2）当n∈N?时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n?3＋a2n?1＝2a2n?1＋8，于是[a2(n?1)?1－a2(n?1)?1]－(a2n?1－a2n?1)＝8，即bn?1－bn＝8．所以?bn?是公差为8的等差数列．
（3）由（1）（2）可知?bn?是首项b1＝a3－a1＝6，公差为8的等差数列，则bn＝8n－2，即a2n?1－a2n?1＝8n－2．另由已知(令m＝1)可得，an＝
an?1－an＝
a2n?1?a2n?12a2n?12－(n?1)2．那么
－2n＋1＝
8n?22－2n＋1＝2n，于是cn＝2nqn?1．
当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋?＋2n＝n (n＋1)．
当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋?＋2n·qn?1，两边同乘以q，可得qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋?＋2n·qn．上述两式相减，得
2n?1n(1?q)Sn＝2(1?q?q???q)－2nq＝2?1?qn1?q－2nq＝2?n1?(n?1)q?nq1?qn?1，
所以Sn＝2?nqn?1?(n?1)q?1(q?1)2．
?n(n?1)，?综上所述，Sn＝?nqn?1?(n?1)qn?1，2?2?(q?1)?
q?1，q?1.
20．解析：（1）对于f1(x)＝x，它在(0，??)上是增函数，不妨设a≤b≤c，则f1(a)≤
f1(b)≤f1(c)，因为a＋b＞c，所以f1(a)＋f1(b)＝a＋b＞c＝f1(c)，故f1(x)是“保三角形
函数”．
对于f2(x)＝2x，它在(0，??)上是增函数，，不妨设a≤b≤c，则f2(a)≤f2(b)≤
f2(c)，因为a＋b＞c，所以f2(a)＋f2(b)＝2c＝f2(c)，故f2(x)是“保三角形函数”．
2a＋2b＝(2a?2b)＞2(a?b)＞
2对于f3(x)＝3x2，取a＝3，b＝3，c＝5，显然a，b，c是一个三角形的三边长，但因为f3(a)＋f3(b)＝3?(32?32)＜3?52＝f3(c)，所以f3(a)，f3(b)，f3(c)不是三角形的三边长，故f3(x)不是“保三角形函数”．
（2）解法1：因为g(x)＝1＋＝1＋
k?1x?1x?1(k?1)xx?x?12，所以当x＝0时，g(x)＝1；当x＞0时，g(x)．
①当k＝－1时，因为g(x)＝1，适合题意． ②当k＞－1时，因为g(x)＝1＋
k?1x?1x?1≤1＋k?12x?1x?1＝k＋2，所以g(x)∈(1，
k?2]．从而当k＞k?12x?1x?1－1时，g(x)∈[1，k?2]．由1＋1＞k＋2，得k＜0，所以
－1＜k＜0．
③当k＜－1时，因为g(x)＝1＋
k?1x?1x?1≥1＋k?12x?1x?1＝k＋2，所以g(x)∈[k?2，
从而当k＞－1时，所以g(x)∈[k?2，由?1)，1]．＜k＜－1．
综上所述，所求k的取值范围是(?2?k?2?0，?(k?2)?(k?2)?1得，k＞?32，所以?3232，0)．
2解法2：因为g(x)＝
/(2x?k)(x?x?1)?(x?kx?1)(2x?1)(x?x?1)22＝?(k?1)(x?1)(x?1)(x?x?1)22，
①当k＝－1时，因为g(x)＝1，适合题意．
②当k＞－1时，可知g(x)在[0，1)上单调递增，在(1，??)上单调递减，而g(0)＝1，
g(1)＝k＋2，且当x＞1时，g(x)＞1，所以此时g(x)∈[1，k?2]．
③当k＜－1时，可知g(x)在[0，1)上单调递减，在(1，??)上单调递增，而g(0)＝1，g(1)＝k＋2，且当x＞1时，g(x)＜1，所以此时g(x)∈[k?2，1]．
（以下同解法1）
（3）①因为h(x)的值域是(0，??)，所以存在正实数a，b，c，使得h(a)＝1，h(b)＝1，h(c)＝2，显然这样的h(a)，h(b)，h(c)不是一个三角形的三边长．
故h(x)不是“恒三角形函数”．
②因为h(x)的最小正周期为T(T＞0)，令a＝b＝m＋kT，c＝n，其中k∈N?，且k＞
n?2m2T，则a＋b＞c，又显然b＋c＞a，c＋a＞b，所以a，b，c是一个三角形的三边长．
但因为h(a)＝h(b)＝h(m)＝1，h(c)＝h(n)＝2，所以h(a)，h(b)，h(c)不是一个三角形的三边长．
故h(x)也不是“保三角形函数”．
（说明：也可以先证h(x)不是“保三角形函数”，然后根据此知h(x)也不是“恒三角形函数”．）