第二章随机变量及其分布
在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量.由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量.与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性.本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.
§2.1随机变量
一、随机变量概念的引入
为全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.
1.在有些随机试验中,试验的结果本身就由数量来表示. 例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示
2.在另一些随机试验中,试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示.
例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的，可规定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”
二、随机变量的定义
1定义设随机试验的样本空间为?,对每个???,都有一个实数X(?)与之对应,则称X(?)为随机变量.简记为X.
随机变量通常用英文大写字母X,Y,Z或希腊字母?,?等表示。 随机变量的取值一般用小写字母x,y,z等表示。 2随机变量的特征 1)它是一个变量，
2)它的取值随试验结果而改变
3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件，具有一定的概率
三、引入随机变量的意义
随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.
随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.
四、随机变量的类型
随机变量因其取值方式不同,通常分为离散型和非离散型两类.而非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.
离散型：随机变量的所有取值是有限个或可列个 连续性：随即变量的取值是某个区间或整个数轴
§2.2离散型随机变量及其概率分布
一.离散型随机变量的概率分布
1、定义：如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量．
2、定义(概率分布)
设离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，?，xn，?，X取各个可能值的概率,即事件{X?xi}的概率为P{X?xi}?pi,i?1,2,?
则称其为离散型随机变量X的概率分布或分布律. 常用表格形式来表示X的概率分布:
Xpix1p1x2?xn?p2?pn?
注：离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．即离散型随机变量可完全由它的可能取值以及取这些值的概率唯一确定． 离散型随机变量分布律的性质:
⑴P{X?xk}?pk?0,
⑵?P{X?xi}??pk?1
k=1k?1??例１一箱中装有6个产品，其中有2个是二等品，现从中随机地取出3个，试求取出的二等品个数X的概率分布．
3解：随机变量X的可能取值是0,1,2，在6个产品中任取3个，共C6?20种
取法，故
32112C4C4C23C4C211,P?X?0??3?,P?X?1???PX?2??. ??3355C65C6C6X所以，X的概率分布为
015135215npi
?1?加例：设随机变量X的分布律为P?X?n??c???4?试求常数c
?n?1，2，???1?解：由随机变量的性质，得1??P?X?n???c??
n?1n?1?4?1???1?该级数为等比级数，故有1??P?X?n???c???c?4
1n?1n?1?4?1?4n??n所以c?3
二、常用离散型随机变量的分布
10-1分布或两点分布或伯努利分布．
如果随机变量X的分布律为P?X?0??1?p，P?X?1??p或
P?X?k??pk?1?p?n?k?k?0,1,0?p?1?
则称随机变量X服从参数为p的0-1分布或两点分布 或
X P 0 1-p 1 p 记作X~b?1，p??其中0?p?1为参数? 2.二项分布
如果随机变量X的分布律为
kkP?X?k??Cnp?1?p?n?k?k?0，1，?，n?则称随机变量X服从参数为?n，p?的二项分布，记作X~b?n，p?
?其中n为自然数，0?p?1为参数?
注：(1)P{X?k}?0,k?0,1,2?n
kk(2)?P{X?k}??Cnp?1?p?k=0k?0n?n?k?(p?1?p)n?1
贝努里分布是二项分布的一个特例．显然，当n?1时X~b?1 ，p?说明，例2射手射击一枪命中的概率是
k(k?0,1,2?6)枪的概率．
3，求射手射击6枪中恰好命中4解:我们将射手射击一枪看成一次试验，独立射击6枪相当于做6重伯努利试
?验．记X为陆次射击命中的次数，则X是一个随机变量，且X~b?6，?31因此P6(k)?P?X?k??C6k()k()6?k443?? 4??k?0，1，?，6?
例3：某人进行射击，每次射击的命中率为0.001，独立射击5000次，求命中一次以上的概率．
解：将一次射击看成一次试验，设击中的次数为X，则X~b(5000,0.001)
X的概率分布为
kP?X?k??C5000(0.001)k?0.999?5000?k?k?0，1，?，5000?
于是所求概率
P?X?1??1?P?X?0??P?X?1?0?1?C5000(0.001)0?0.999?5000
49991?C5000(0.001)1?0.999?
?1?0.00672?0.03364?0.9596
加例：一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？
解：每答一道题相当于做一次贝努利试验，
A??答对一道题?，则P?A??1,则答5道题相当于做5重贝努里试验． 41??设X表示学生靠猜测能答对的题数,则X~b?5，?
4??P?至少能答对4道题??P?X?4??P?X?4??P?X?5?
1?1?3?1? ?C????????4?4?4?6445453泊松分布：
如果随机变量X的分布律为
P?X?k???kk!e???k?0，1，2，???其中??0为常数?
则称随机变量X服从参数为λ的泊松分布记为X~?(?) 注:(1)P{X?k}?0,k?0,1,2? (2)?P{X?k}??k=0k?0???kk!e???e???k!k?0??k?e??e??1
泊松分布的应用
（1）泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一.实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.泊松分布是概率论中重要的分布之一．
（2）自然界及工程技术中的许多随机指标都服从泊松分布．
（3）例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从泊松分布的．
例4:某一城市每天发生火灾的次数X服从参数??0.8的泊松分布,求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率.
解:
由概率的性质,得