P{X?3}?1?P{X?3}?1?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}
?1?e?0.8?0.800.810.82???0!?1!?2!???0.04743. ??4二项分布的泊松近似
定理1(泊松定理)在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为
pn(注意这与试验的次数n有关),如果n??时,npn??(??0为常数),则对任意
给定的k,有limb(k,n,pn)?n???kk!e??.
证：令：npn??n
则kkCnpn?1?pn?n?kn?n?1??n?2???n?k?1???n???n???n??1?n?k！????kn?kn?k
1??2??k?1???n??1????1????1???1?k!?n??n??n??n??对于固定的k，有
?kn?
k由lim?n?limnpn??得lim?n??k n??n??n??n?k??nn???lim?1?n?n??n??n?k???n????lim??1?n?n???n???n??????e??
n?kkk所以limCnpn?1?pn?n??n?k1??2??k?1???n??lim1????1????1???1?n??k!nnnn?????????n?k?kn?
1??n??1??2??k?1??lim?k?lim1?1??1??limn??????n???1?n??n??k!n?n??n??n????泊松定理的应用
??ke??
k！则当n比较大，p比较小时，令：??np 若随机变量X~b?n，p?，则有P?X?k??Cp?1?p?knkn?k??kk!e??
当n?20,p?0.05时近似效果颇佳,当n?100,np?0.05时近似效果更好. 例5:为保证设备正常工作，需要配备一些维修工，如果各台设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01．试在以下各情况下，求设备
发生故障而不能及时维修的概率．
（1）一名维修工负责贰拾台设备； （2）3名维修工负责90台设备．
解:（1）以X表示20台设备中同时发生故障的台数，则X?b(20,0.01) 以??np?20?0.01?0.2为参数的泊松分布作近似计算，
0.2ke?0.2得P{X?1}?1?P{X?1}?1???0.0175
k1k?01（2）以Y表示90台设备中同时发生故障的台数，则Y?b(90,0.01)．以参数
??np?90?0.01?0.9的泊松分布作近似计算，得所求概率为
0.9ke?0.9P{Y?3}?1?P{Y?3}?1???0.0135
k1k?03练习1：设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知
P?X?1??P?X?2?试求P?X?4?
解：随机变量X的分布律为P?X?k???kk!e???k?0，1，2，??由已知
P?X?1??P?X?2?得
?11!e????2e??，??2. 2!24?22?2e?e 所以P?X?4??34!练习2为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备300台各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？
解：设需配备N人，记同一时刻发生故障的设备台数为X，则X～b(300，0.01），需要确定最小的N的取值，使得：P{X?N}?0.01
P{X?N}?0.01
3ke?3P{X?N}???0.99
k!k?0N?3ke?33ke?31?????0.01
k!k?0k?N?1k!N查表可知，满足上式的最小的N是8,因此至少需配备8个工人。 练习3设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法：其一，由4人维护，每人负责20台;其二，由3人,共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.
解：按第一种方法.以X记“第1人负责的20台中同一时刻发生故障的台数”，则X～B(20，0.01）.以Ai表示事件“第i人负责的台中发生故障不能及时维修”，则80台中发生故障而不能及时维修的概率为：
P(A1?A2?A3?A4)?P(A1)?P{X?2}.
??k?2??ke??(0.2)ke?0.2???0.0175 k!k!k?2?按第二种方法.以Y记80台中同一时刻发生故障的台数， 则Y～B(80，0.01）.
故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：
(0.8)ke?0.8P{Y?4}???0.0091
k!k?4?第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以有效地使用人力、物力资源。