?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?814*6?421
??14 8??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?8 6???44?21?? ? 1???21? 9 －6?六（3）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－6 6??
求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+6-2*(-6)=27
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+6+2*(-6)=3
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-6= 3
?(X?Y,X?Y)3X?Y,X?Y?CovD(X?Y)D(X?Y)?27*3?13
Y?27 3??所以，（X—Y， X＋）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?1 ?3 3?? 和 ????1?3 1? 4 －5?六（4）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－5 9??
求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+9-2*(-5)=23
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+9+2*(-5)=3
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5
?X?Y,X?Y)X?Y,X?Y?Cov(D(X?Y)D(X?Y)??5?523*3?69
??23 -5??所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?1 ?-5 13?? 和 ???-5?69第26页，共38页
?1?3?? ???-5?69?? ??? 1? 1 －1?六（5）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??
－1 4??求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=1+4-2*(-1)= 7
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =1-4= -3
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??37*3??321
??7 -3??1 所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?-3 3???-3-3?21?? ? 1???21?求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=5+4+2*2=13
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=5+4-2*2=5
Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =5-4=1
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?113*5?165
七（1）、设总体X的概率密度函数是
??x??1, 0?x?1f(x;a)??
?0, 其它其中??0为未知参数。x1, x2, ?, xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数L???xii?1n??1???xii?1nn??1 lnL?nln??(??1)?lnx
ii?1n第27页，共38页
dlnLnn??? ???lnxi?0 ?d??i?1n?lnxi?1n
i
七（3）、设总体X的概率密度函数是
?2?xexp{??x2}, x?0f(x)??
?0, 其它?>0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数L??(2?xiexp{??xi})?(2??xiexp{??i?1i?1n2nnnn2nn2 lnL?nln(2?)?lnx??xx})?i?i ?ii?1i?1i?1dlnLnn2?? ???xi?0 ?d??i?1n?xi?1n
2i 七（4）、设总体的概率密度函数是
?3?x2exp{??x3}, x?0f(x)??
?0, 其它其中?>0是未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 解：似然函数L??(3?xexp{??xi})?(3??xiexp{??i?1i?1n2i3nnn2?xi?1n3i}) lnL?nln(3?)??lnxi???xi3
2i?1i?1nndlnLnn3?????xi?0 ?
d??i?1n?xi?1n
3i 七（5）、设总体X服从参数为?的泊松分布P(?)??xx!e??（x=0，1， ?），其中??0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一
组样本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数L??n?xixi!i?1e????n?xii?1ne?n? lnL??xi!i?1?xln???ln(x!)?n?
iii?1i?1nn第28页，共38页
xidlnL??? ?i?1?n?0 ?d??
n?xi?1nin?x
七（6）、设总体X的概率分布为P{X= x}=p(1-p),x?0,1。 设x1,x2,x3,?,xn为总体X的一组简单随机样本，试用最
大似然估计法求p的估计值。 解：
x1-xL??pi?1nxi?1?p?1?xin?n??? lnL???xi?lnp??n??xi?ln?1?p?
i?1?i?1???ndlnL?n?1?1n?1????xi???n??xi??0 p??xi?x
i?1dpni?1?i?1?p??1?p 七（7）、设总体X服从参数为
n1的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 ?n解： L??n1i?1?e1?xi?1xi?1???i??1?1n?1???e lnL?nln????xi ???????i?1dlnLn1n1n????2?xi?0 ???xi?x
ni?1d???i?1 七（8）、设总体X服从参数为?的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数
L???ei?1nn??xi??exin??i??1n lnL?nln????xi
i?1ndlnLnn??n?1 ???xi?0 ?nd??i?1?xixi?1七（9）、设总体X的概率密度函数是
(x??)21?12f(x;?)?e, ???x???
2?x1,x2,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？
解：似然函数
?xi???21?1 L??e2?i?12?n1?2??nn1n2??1nexp????xi???? lnL??ln?2????(xi??)2
22i?1?2i?1?第29页，共38页
dlnLn1n???(xi??)?0 ???xi?x
d?ni?1i?1七（10）、设总体X的概率密度函数是
x?12?f(x;?)?e, ???x???
2??2x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？
解：似然函数
i1n?2? L??()e?i?12??nx21?2???nnn1n2?1n2??xi exp???xi? lnL??ln?2???ln??i?1i?1222?2???dlnLn1n21n2?????xi ???xi
ni?1d?2?2?2i?1
八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设零件长度
X服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )
、解：由于零件的长度服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95
?/n) 经计算 x?19所以?的置信区间为(x?u0.025?n,x?u0.025?n?xi?19i?6
1 ?的置信度为0.95的置信区间为 (6?1.96?13,6?1.96?3) 即(5.347，6.653)
八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (?, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）： 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7
若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径?的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )
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