不等关系与不等式
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教学重点： 掌握实数的大小比较方法、不等式的性质的运用 教学难点： 理解不等式性质的证明范围
1. 不等式
（1） 用数学符号\?\?\?\?\?\ 连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。 （2） 含有不等号的式子，叫做不等式。 2. 实数的大小关系
（1） 实数集与数轴上的点集一一对应；
（2） 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；
（3） 对于任意两个实数a和b，在a?b,a?b,a?b三种关系中有且仅有一种关系成立； （4） 在数学中，两个实数的大小可以通过作差比较
a?b?0?a?ba?b?0?a?b
a?b?0?a?b3. 不等式的性质
（1） 对称性：如果a?b，那么b?a；如果 b?a，那么a?b； （2） 传递性：如果a?b且b?c，则a?c； （3） 加法法则：如果 a?b，则a?c?b?c；
（4） 乘法法则：如果a?b,c?0，则ac?bc；如果a?b,c?0，则ac?bc
1
类型一： 不等式表示不等关系及实数的大小比较 例1.用不等号表示下列关系 （1）a与b的和是非负数 （2）实数x不小于3
解析：（1）a?b?0 （2）x?3 答案：（1）a?b?0 （2）x?3 练习1.（1）实数m小于5，但不小于-2
（2）x与y的差的绝对值大于2，且小于或等于6 答案：（1）?2?m?5 （2）2?x?y?6
练习2.已知a,b分别对应数轴上的A,B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是（）
A.a?b?0 B.a?b?0 C.a?b D.a?b?0 答案：D
2例2.比较x?2x与x?2的大小
解析：
?x2?2x???x?2???x??1?x??2当
?x?1?0x?2?0 或
?x?1?0x?2?0 即x?1或x??2时，
?x?1??x?2??2，当?2?x?1时，此时x?2x?x?2 0此时x2?2x?x?2；?x?1??x?2??0，
22答案：x?1或x??2时，x?2x?x?2；当?2?x?1时，x?2x?x?2
练习3.比较aabb与abba（a,b为不相等的正数）的大小
abba答案：ab?ab
a2?b2a?b练习4.已知a?b?0，则2 _________ （填?,?,?） 2a?ba?b答案：?
类型二： 不等式性质的证明应用 例3.已知a?b?0,c?d?0,求证
ab? dc解析：?c?d?0,??c??d?0又a?b?0,??ac??bd?0,?ac?bd又
c?d?0,?cd?0?答案：见解析
acbdab?,即? cdcddc2
练习5.已知c?a?b?0,求证
ab? c?ac?b?c?a?b?0,?c?a?0,c?b?0,?a??b,?0?c?a?c?b答案： 11ab???0,?a?b?0,??c?ac?bc?ac?b练习6.已知a?b?0,c?d?0,求证3答案：
a3b ?dc11ababab?c?d?0,?c??d?0?0????,a?b?0?????0,?3??3?,?3?3 cddcdcdc类型三： 利用不等式的性质求取值范围 例4.已知1?a?b?5,?1?a?b?3 （1） 求a,b的范围； （2） 求3a?2b的范围。
11a?b?a?b,b?????a?b???a?b?????????1?a?b?5,?1?a?b?3, 2?2?1?0??a?b???a?b??8,?2??a?b???a?b??6,?0???4 ?a?b???a?b????21?1???3,?0?a?4,?1?b?3 ?a?b???a?b????2解析：（1）a?（3） 设3a?2b?m?a?b??n?a?b???a?b?5??1?1?a?b?3,??2??m?n?3m?n??2?m?115??52?3a?2b??a?b???a?b?
22?n?215?a?b???a?b??10, ??2?3a?2b?10 22答案：（1）0?a?4,?1?b?3（2）?2?3a?2b?10 练习7.已知?,?满足?1?????1,1???2??3 （1） 求?的范围 （2） 求??3?的范围
答案：（1）0???4 （2）1???3??7 练习8.若?,?满足?答案：???,
?2??????2,则2???的取值范围____________
?3?2??? 2?3
练习9.设变量x,y满足答案：??3,3? 练习10.已知?答案：??
??1?x?y?1?1?x?y?1则2x?3y的取值范围_____________
?2??????2 则
???2的取值范围是___________
???,0? 2??
1. 实数m不超过2，是指( )
A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2 答案：D
2. 设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M＝N C．M 3. 已知a＝2－5，b＝5－2，c＝5－25，那么下列各式正确的是( ) A．a cd ①若ab＜0，bc－ad＞0，则－＞0； abcd ②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0； abcd ③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0. ab其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案： C 5. 若a 1111A．> B．2a>2b C．|a|>|b| D．()a>()b ab22答案：B 6. 设a＋b<0，且a>0，则( ) A．a2<－ab 7. 已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( ) A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞a C．－a＞a2＞a＞－a2 答案：B D．a2＞－a＞a＞－a2 _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 基础巩固 1. 已知a 1 2. 已知P＝2，Q＝a2－a＋1，则P、Q的大小关系为( ) a＋a＋1A．P>Q C．P≤Q 答案：C 1 3. 已知|a|<1，则与1－a的大小关系为( ) a＋1A． 1 <1－a a＋1 1B．>1－a a＋11D．≤1－a a＋1B．P D．b2－4ac的正负不确定 1C．≥1－a a＋1答案：C 4. 若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( ) bb＋1A．> aa＋111 C．a＋>b＋ ba答案：C cd 5. 已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>aD．以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个 ab能成立的不等式命题________． 5 11 B．a＋>b＋ ab2a＋ba D．> a＋2bb