在直角坐标系背景下的几何问题
第一部分 考点概述
近几年动态几何已经成为江西中考的热点，但其一般都是在直角坐标系的背景下出现的。在中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。本节课主要复习坐标系中的几何问题，希望以此为出发点，攻克动态几何问题。
第二部分 命题规律探寻
在坐标系背景下的大题多为利用点的坐标运动结合线段的移动来提高难度。常要利用到相似三角形知识，转化为相似比求线段的长，或求极值。总之，相似使用较多，而解直角三角形也常要用到，这两种计算技巧是解题的必备，需要重点训练，加深理解应用能力。
第三部分 解题技巧
0，AC 交【例1】已知：如图1，等边?ABC的边长为23，一边在x轴上且A1?3，??y轴于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．
（1）直接写出点B、C的坐标；
（2）若直线y?kx?1?k?0?将四边形EABF的面积两等分，求k的值；
（3）如图2，过点A、B、C的抛物线与y轴交于点D，M为线段OB上的一个动点，过x轴上一点G??2,0?作DM的垂线，垂足为H，直线GH交
yyy轴于点N，当M点在线段OB上运动时，现给出两个结论：
① ?GNM??CDM ②?MGN??DCM，其中有且只
EAO-11CDFABxOBxC有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．
图1图2【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头
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皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C点纵坐标直接用tan60°来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。
3?． 0；C?1，【解析】解：（1）B1?3，??（2）过点C作CP?AB于P，交EF于点Q，取PQ的中点R． 0． ∵?ABC是等边三角形，A1?3，??∴?EAO?60? ．
在Rt?EOA中，?EOA?90?．
∴EO?AO?tan60???1?3?3?3?3． ∴E0,3?3．
3?． ∵EF∥AB交BC于F，C?1，?????3?3?R∴??1，2??． （就是四边形对角线的中点，横坐标自然和C一样，纵坐标就是E的??纵坐标的一半）
∵直线y?kx?1将四边形EABF的面积两等分．
y?3?3?y?kx?1R∴直线必过点??1，2??．
??3?35?3∴k?1? ，∴k?22ERAO-1CQFBx
（3）正确结论：①?GNM??CDM．
证明：可求得过A、B、C的抛物线解析式为 y??x2?2x?2 2?． ∴D?0，
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0?． ∵G??2，∴OG?OD．
由题意?GON??DOM?90?． 又∵?GNO??DNH ∴?NGO??MDO ∴?NGO≌?MDO
∴?GNO??DMO，OM?ON ∴?ONM??NMO?45? 过点D作DT?CP于T ∴DT?CT?1 ∴?CDT??DCT?45? 由题意可知DT∥AB ∴?TDM??DMO
∴?TDM?45???DMO?45???GNO?45? ∴?TDM??CDT??GNO??ONM
yCDHGNAOMPBxT 即：?GNM??CDM． （这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）【例2】如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y?124x?x?10与ｘ正半轴交于点189A,与ｙ轴交于点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P、Q分C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单别从O、
位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒) 过点D作DE∥
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;
(3)当0＜t＜
9时,△PQF的面积是否总为定值?若是,2求出此定值,若不是,请说明理由;
(4)当t _________时,△PQF为等腰三角形?
【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。本题一样一步步拆开来做，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称
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轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。在运动中，QC和PA始终是平行的，根据平行四边形的判定性质，只要QC=PA时候即可。第三问求△PQF是否为定值，因为三角形的一条高就是Q到X轴的距离，而运动中这个距离是固定的，所以只需看PF是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF，得解。第四问因为已经知道PF为一个定值，所以只需PQ=PF=18即可，P点（4t,0）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题,第四问原本是作为解答题来出的本来是3分,但是本题作为1分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ就可以。实际考试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了.
【解析】解：(1) y?12(x?8x?180)，令y?0得x2?8x?180?0，18?x?18??x?10??0
∴x?18或x??10∴A(18,0)；
124x?x?10中，令x?0得y?10即B(0,?10)； 189124x?x?10得x?8或x?0 由于BC∥OA，故点C的纵坐标为－10，由?10?189在y?即C(8,?10)
于是，A(18,0),B(0,?10),C(8,?10)
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA.故只要QC=PA即可 ∵PA?18?4t,CQ?t ∴18?4t?t 得t?18 5（3）设点P运动t秒，则OP?4t,CQ?t，0?t?4.5，说明P在线段OA上，且不与点O、A重合，
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故∴AF?4t?OP
∴PF?PA?AF?PA?OP?18 又点Q到直线PF的距离d?10 ∴S?PQF?QDQCt1??? DPOP4t411?PF?d??18?10?90 224
∴△PQF的面积总为90
（4）由上知，P(4t,0),F(18?4t,0),Q(8?t,?10)，0?t?4.5。构造直角三角形后易得
PQ2?(4t?8?t)2?102?(5t?8)2?100FO2?(18?4t?8?t)2?102?(5t?10)2?100
若FP=PQ，即182?(5t?8)2?100，故25(t?2)2?224， ∵2≤t?2≤6.5∴t?2?，
224414414∴t???2
2555若QP=QF，即(5t?8)2?100?(5t?10)2?100，无0≤t≤4.5的t满足条件；
2若PQ=PF，即(5t?8)2?100?182，得(5t?8)?22，4∴t?8?414?4.5或5t?8?414?0都不满足0≤t≤4.5，故无0≤t≤4.5的t满足方程； 5综上所述：当t?414?2时，△PQR是等腰三角形。 5【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y??3x?63交x轴、y轴于A、
B两点，点M?m,n?是线段AB上一动点，点C是线
段OA的三等分点．
（1）求点C的坐标；
（2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180?，得到△A'C'M．
①当BM?MB1AM时，连结A'C、AC'，若过原2点O的直线l2将四边形A'CAC'分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
②过点A'作A'H?x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A'、H、C、M构成的四边形为梯形？
【思路分析】本题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造能力提出了要求，也是一道
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OA