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3.2 回归分析
1．线性回归模型 (1)随机误差
具有线性相关关系的两个变量的取值x、y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差．
(2)随机误差产生的主要原因
①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差．
(3)线性回归模型中a，b值的求法 y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型． a，b的估计值为a ∧，b ∧，则
－－
∑xy－nxy??b ∧＝
∑x－n（x） ???a ∧＝y－b ∧ －xi＝1nii2
2
ni＝1i(4)回归直线和线性回归方程
直线y_∧＝a_∧＋b_∧x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a ∧称为回归截距，b ∧称为回归系数，y ∧称为回归值．
2．样本相关系数r及其性质
－－
∑xiyi－nxyi＝1n22n(1)r＝n22．
（∑xi－n（x））（∑yi－n（y））i＝1i＝1(2)r具有以下性质
①|r|≤1．
②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强． ③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱． 3．对相关系数r进行显著性检验的基本步骤
(1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系．
(2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n－2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)．
(3)计算样本相关系数r．
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(4)作出统计推断：若|r|>r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．
1．在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示自变量x的取值增加一个单位时，函数值y的改变量．
2．通过回归方程y ∧＝a ∧＋b ∧x可求出相应变量的估计值．
3．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．
[例1] 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：
x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 若由数据可知，y对x呈现线性相关关系． (1)求线性回归方程；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
[思路点拨] 代入数值求线性回归方程，然后把x＝10代入，估计维修费用． [精解详析] (1)列表如下：
i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x24 9 16 25 36 i 2经计算得：x＝4，y＝5，∑5,i＝1xi＝90，∑5,i＝1xiyi＝112.3，
a ∧＝y－b ∧·x＝0.08，
所以线性回归方程为y ∧＝a ∧＋b ∧x＝0.08＋1.23x. (2)当x＝10时，y ∧＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)，
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即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元． [一点通] 线性回归分析的步骤：
(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；
22
(2)计算x，y，∑n,i＝1xi，∑n,i＝1yi，∑n,i＝1xiyi；
(3)代入公式求出y ∧＝b ∧x＋a ∧中参数b ∧，a ∧的值； (4)写出线性回归方程，并对实际问题作出估计．
1． 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：
x y 6 2 8 3 10 5 12 6
则y对x的线性回归方程为_________________________________________________． －6＋8＋10＋12－2＋3＋5＋6
解析：∵x＝＝9，y＝＝4，
44
故y对x的线性回归方程为y ∧＝0.7x－2.3.
答案：y ∧＝0.7x－2.3
2．某班5名学生的数学和物理成绩如表：
学生学科 数学成绩(x) 物理成绩(y) A 88 78 B 76 65 C 73 71 D 66 64 E 63 61 (1)画出散点图；
(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；
(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 解：(1)散点图如图．
1
(2)∵x＝× (88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.
5
y＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
5
15
i＝1
∑xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
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5
又∑xi＝88＋76＋73＋66＋63＝27 174. i＝1
222222
∴y对x的线性回归方程是y ∧＝0.625x＋22.05. (3)当x＝96时，y ∧＝0.625×96＋22.05≈82. 可以预测他的物理成绩是82.
[例2] 现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下：
学生号 1 120 84 2 108 64 3 117 84 4 104 68 5 103 69 6 110 68 7 104 69 8 105 46 9 99 57 10 108 71 x y 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？ [思路点拨] 可先计算线性相关系数r的值，然后与r0.05比较，进而对x与y的相关性作出判断．
[精解详析] x＝＝68.
11
(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，y＝(84＋64＋…＋57＋71)1010
所以相关系数为
73 796－10×107.8×68
r＝ 22
（116 584－10×107.8）（47 384－10×68）≈0.751.
由检验水平0.05及n－2＝8， 在附录2中查得r0.05＝0.632， 因为0.751>0.632，
由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系． [一点通] 利用相关系数r进行判断相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据
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较大，需要借助计算器，但计算时应该特别细心，避免出现计算错误．
3．对于回归分析，有下列叙述： (1)在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能自由变量惟一确定． (2)线性相关系数可以是正的或是负的．
2
(3)回归分析中，如果r＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关． (4)样本相关系数r∈(－∞，＋∞)． 判断其说法是否正确． 解：由回归模型及其性质易知(1)，(2)，(3)是正确的．相关系数的取值范围应为|r|≤1，所以(4)是错误的．
4．一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒) 每小时生产有缺点的零件数y(件) 对变量y与x进行线性相关性检验．
－－
解：由题中数据可得x＝12.5，y＝8.25，∑xiyi＝438， －－22
4x y＝412.5，∑xi＝660，∑yi＝291，所以
4
4
4
16 11 14 9 12 8 8 5 （660－625）×（291－272.25）25.5＝≈0.995.
656.25
由检验水平0.05及n－2＝2在教材附录表2中查得r0.05＝0.950，因为r>r0.05，所以y与x具有线性相关关系．
对两个相关变量进行线性回归分析时，首先判断两个变量是否线性相关，可以通过散点图和相关系数判断，然后再求线性回归方程，对问题进行预测，否则求出的回归方程无意义，预测也无价值．
＝
438－412.5
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