概率论与数理统计试卷 (A)
姓名： 班级： 学号： 得分：
一、判断题（10分，每题2分）
1. 在古典概型的随机试验中，P(A)?0当且仅当A是不可能事件. （ ） 2．连续型随机变量的密度函数f(x)与其分布函数F(x)相互唯一确定. （ ） 3．若随机变量X与Y独立，且都服从p?0.1的 (0，1) 分布，则X?Y. （ ） 4．设X为离散型随机变量, 且存在正数k使得P(X?k)?0，则X的数学期望
E(X)未必存在. （ ）
5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类
错误的概率不能同时减少. （ ） 二、 选择题（15分，每题3分）
1. 设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，重复进行试验直到第n次才取得r(1?r?n) 次成功的概率为 . （ａ）Cn?1p(1?p)（ｃ）Cn?1pr?1r?1r?1rn?r； （ｂ）Cnp(1?p)rrn?r；
(1?p)n?r?1； （ｄ）pr(1?p)n?r.
2. 离散随机变量X的分布函数为F(x)，且xk?1?xk?xk?1，则P(X?xk)? . （ａ）P(xk?1?X?xk)； （ｂ）F(xk?1)?F(xk?1)； （ｃ）P(xk?1?X?xk?1)； （ｄ）F(xk)?F(xk?1).
)的分布函数 . 3. 设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y?max(X,2003（ａ）是连续函数； （ｂ）恰好有一个间断点；
（ｃ）是阶梯函数； （ｄ）至少有两个间断点.
4. 设随机变量(X,Y)的方差D(X)?4,D(Y)?1,相关系数
?XY?0.6,则方差
D(3X?2Y)? .
（ａ）40； （ｂ）34； （ｃ）25.6； （ｄ）17.6 .
5. 设(X1,X2,?,Xn)为总体N(1,2)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确
的是 .
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21n（ａ）~t(n)； （ｂ）?(Xi?1)2~F(n,1)；
4i?12/nX?11n（ｃ）~N(0,1)； （ｄ）?(Xi?1)2~?2(n).
4i?12/nX?1
三、填空题（28分，每题4分）
1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才
取到正品的概率为 . 2. 设连续随机变量的密度函数为f(x)，则随机变量Y?3eX的概率密度函数为
fY(y)?
.
3. 设X为总体X~N(3,4)中抽取的样本(X1,X2,X3,X4)的均值, 则
P(?1?X?5)＝ .
4. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)??则条件密度函数为
当 时 fYX?1,y?x,0?x?1;他?0,其
(yx)?
.
5. 设X~t(m), 则随机变量Y?X服从的分布为 ( 需写出自由度 ) .
26. 设某种保险丝熔化时间X~N(?,?)（单位：秒），取n?16的样本，得样本均值和方
2差分别为X?15,S2?0.36，则?的置信度为95%的单侧置信区间上限为 . 7. 设X的分布律为
X 1 2 3
P ?2 2?(1??) (1??)2
已知一个样本值(x1,x2,x3)?(1,2,1)，则参数的极大似然估计值为 . 四、计算题（40分，每题8分）
1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是
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0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.
2．设随机变量X与Y相互独立，X，Y分别服从参数为?,?(???)的指数分布，试求
Z?3X?2Y的密度函数fZ(z).
3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为??1的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.
4．设总体X~N(?,?2)，(X1,X2,?,Xn)为总体X的一个样本. 求常数 k , 使
k?Xi?X为? 的无偏估计量.
i?1n
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5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力X~N(?,?2)（单位：kg）. 已知??8 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值x?575.2 kg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （??5%）
（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(?,0.0482). 某日抽取5个样品，测
得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .
问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用??10%作假设检验.
五、证明题（7分）
设随机变量X,Y,Z相互独立且服从同一贝努利分布B(1,p). 试证明随机变量
X?Y与Z相互独立.
附表： 标准正态分布数值表
?2分布数值表 t分布数值表
2?(0.28)?0.6103 ?0 t0.025(15)?2.1315 .05(4)?9.4882?(1.96)?0.975 ?0 .95(4)?0.711 t0.05(15)?1.75312?(2.0)?0.9772 ?0 t0.025(16)?2.1199 .05(5)?11.0712?(2.5)?0.9938 ?0.95(5)?1.145 t0.05(16)?1.7459
概率统计试卷解析
一. 判断题
1. 是. 在几何概型中，命题“P(A)?0当且仅当A是不可能事件” 是不成立的. 2. 非. 改变密度函数f(x)在个别点上的函数值，不会改变分布函数F(x)的取值.
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3. 非. 由题设条件可得出P(X?Y)?0.82，根本不能推出X?Y. 4. 非. 由题设条件可可以证明
?xk?1?kpk绝对收敛，即E(X)必存在.
5. 是. 由关系式 z??z???n/?(等式右端为定值) 可予以证明.
二. 选择题
1.（ａ） 2.（ｄ） 3.（ｂ） 4.（ｃ） 5.（ｄ）.
三. 填空题
f[ln(y/3)])?11. 19/396 . 2 . fY(y)??y0??1/(2x)0?x?14. 当时 fYX(yx)???06. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .
四. 计算题
y?0y?0. 3. 0.9772 .
?x?y?x 5. F(1,m)].
其他1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件.
P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?0.96?0.98?0.04?0.05?0.9428，
P(BA)?P(B)P(AB)/P(A)?0.9408/0.9428?0.998. ???e?(?x??y)2. 解一 f(x,y)??0?x?0,y?0
其他 z?0时，FZ(z)?0，从而 fZ(z)?0；z?0时，
FZ(z)?P(3X?2Y?z)?3x?2y?z??f(x,y)dxdy??z/30?e??xdx?(z?3x)/20?e??ydy
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