??e??x解二 fX(x)???0??e??yx?0 fY(y)??其他?0y?0 其他z?0时， fZ(z)?0；
z?0时， fZ(z)?12??????z/30fX(x)fY[(z?3x)/2]dx
?所以
12??e??x??[(z?x)/2]dx???(e??z/3?e??z/2)
3??2????(e??z/3?e??z/2),z?0? fZ(z)??3??2?
?z?0?0,
1/3?2/31?Z?3X?2Y?X?(Z?2W)/3解三 设 ? ?? J??
W?YY?W013?? 随机变量(Z,W)的联合密度为 g(z,w)?f? 所以 fZ(z)?2w1??z?3??w?z?2w? ,w?J???e3?3??????g(z,w)dw?13?z/20??e2w??z?3??wdw
???(e??z/3?e??z/2)3??2?z?0.
3. 设 Xi为第i周的销售量, i?1,2,?,52 Xi~P(1)， 则一年的销售量为
Y??Xi，E(Y)?52, D(Y)?52.
i?152由独立同分布的中心极限定理，所求概率为
?????? P(50?Y?70)?P??2?Y?52?18????18????2??1
??????5252??52?52??52???(2.50)??(0.28)?1?0.9938?0.6103?1?0.6041.
4. 注意到 X1,X2,?,Xn的相互独立性
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Xi?X?1??X1?X2??(n?1)Xi???Xn?nE(Xi?X)?0,D(Xi?X)?n?12?n?n?12?Xi?X~N?0,??n??E(|Xi?X|)??|z|????1en?12??n?z2n?122?n?z2n?122?ndz?2???0z1en?12??ndz?2n?1?2?n?n??n??kn2?n?令E?k?|Xi?X|??k??E|Xi?X|?2n?1???i?1??i?1?k??2n(n?1)
5. (1) 要检验的假设为 H0:??570,H1:??570
检验用的统计量 U?X??0?/n~N(0,1)，
拒绝域为 U?z?(n?1)?z0.025?1.96.
2 U0?575.2?5708/10?0.6510?2.06?1.96，落在拒绝域内，
故拒绝原假设H0，即不能认为平均折断力为570 kg .
(2) 要检验的假设为 H0:?2?0.0428,H1:?2?0.0428
检验用的统计量 拒绝域为
?2??(Xi?15i?X)2~?2(n?1)，
2?022?2???(n?1)??0.05(4)?9.488 或 222 ???1??(n?1)??0.95(4)?0.711
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2x?1.41， ?0, 落在拒绝域内， ?0.0362/0.0023?15.739?9.488 故拒绝原假设H0，即认为该天的纤度的总体方差不正常 .
五、证明题 证一 由题设知
X 0 1 X?Y 0 1 2
P qp P q2 2pq p2
P(X?Y?0,Z?0)?q3?P(X?Y?0)P(Z?0)； P(X?Y?0,Z?1)?pq2?P(X?Y?0)P(Z?1)；
P(X?Y?1,Z?0)?2pq?P(X?Y?1)P(Z?0)；
P(X?Y?1,Z?1)?2pq2?P(X?Y?1)P(Z?1)； P(X?Y?2,Z?0)?pq2?P(X?Y?2)P(Z?0)；
P(X?Y?2,Z?1)?p?P(X?Y?2)P(Z?1). 所以 X?Y与Z相互独立.
证二 由题设可得X?Y与Z的联合分布
32X?Y
Z
0
1 2
p2q
0 q3 2pq2 1
2pq2 2pq p3
联合概率矩阵中任两行或两列元素对应成比例，故概率矩阵的秩等于1，所以 X?Y与Z相互独立.
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