2014年中考真题
分析：连结BC，根据圆周角定理由AB是半圆的直径得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理由OD⊥AC得到AE=CE=AC=4，然后在Rt△BCE中，根据勾股定理计算出BE=2，则可根据正弦的定义求解． 解：连结BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC=∵OD⊥AC，∴AE=CE=AC=4， 在Rt△BCE中，BE=∴sinα=
=
=
=2
．故答案为
， ．
=6，
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和圆周角定理． 24．（2014年山东泰安）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为 ．
分析： 首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案． 解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=
，∴OA+AB1+B1C2=+
+4=6+4=10，
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∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：
×10=10070．故
答案为：10070．
点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．
三、解答题（本大题共5小题，满分48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
2014年中考真题
25．（2014年山东泰安）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干果共盈利多少元？ 分析：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解； （2）根据利润=售价﹣进价，可求出结果． 解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元， 由题意，得
=2×
+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元； （2）[
+
﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000 =1500×9+4320﹣12000 =13500+4320﹣12000 =5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 26．（2014年山东泰安）如图①，△OAB中，A（0，2），B（4，0），将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′．
（1）当m=4时，如图②．若反比例函数y=的图象经过点A′，一次函数y=ax+b的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）若反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．
分析：（1）根据题意得出：A′点的坐标为：（4，2），B′点的坐标为：（8，0），进而利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）首先得出A′B′的中点M的坐标为：（m+4﹣2，1）则2m=m+2，求出m的值即可． 解：（1）由图②值：A′点的坐标为：（4，2），B′点的坐标为：（8，0）， ∴k=4×2=8，∴y=，
2014年中考真题
把（4，2），（8，0）代入y=ax+b得：，解得：，
∴经过A′、B′两点的一次函数表达式为：y=﹣x+4；
（2）当△AOB向右平移m个单位时，A′点的坐标为：（m，2），B′点的坐标为：（m+4，0） 则A′B′的中点M的坐标为：（m+4﹣2，1）∴2m=m+2，解得：m=2， ∴当m=2时，反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标的平移等知识，得出A′，B′点坐标是解题关键． 27．（2014年山东泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M． （1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；
（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．
（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余， ∴∠DCF=∠AMF， 在△DFC和△AFM中，
，∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM；
（2）AD⊥MC，
理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°， ∴DE∥CM，∴AD⊥MC．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键． 28．（2014年山东泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB． （1）求证：
=
；
2014年中考真题
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
分析：（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；
（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形． 证明：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB， 又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴
=
，又∵AB=AD，∴
=
；
（2）设AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，
2
由（1）得：AB=AE?AC，∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°， ∵F是BC中点，∴BF=x，∴BF=AB=AD，
又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，∴∠ADB=∠CBD=30°，∴AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD=AB，∴四边形ABFD是菱形．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△ABE∽△ACB是解题关键．
29．（2014年山东泰安）二次函数y=ax+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．
2
分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
2014年中考真题
解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），
根据题意得：，解得：，
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则二次函数的解析式是：y=﹣（2）设N（x，﹣x﹣∴MN=PN﹣PM=﹣x﹣
22
﹣x+1；
x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）． x+1﹣（﹣x+1）=﹣x﹣
；
2
x=﹣（x+）+
2
，
则当x=﹣时，MN的最大值为
（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，
即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC， 即﹣x﹣
2
x=，且（﹣x+1）+（x+3）=
22
，解得：x=1，
故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．
点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．