【答案】D
【解析】由题知问题等价于函数f?x?在??2,0?上的值域是函数g?x?在??2,1?上的值域的子集．当x??2,4?时， f?x??{??x?2??4,2?x?32x?,3?x?4x2，由二次函数及对勾
?9?函数的图象及性质，得此时f?x???3,?，由f?x?2??2f?x?，可得
?2?f?x??11f?x?2??f?x?4?，当x???2,0?时， x?4??2,4?．则f?x?在243
?2a?1??39???2,0?的值域为?4,8?．当a?0时， g?x????2a?1,a?1?，则有{a?1?94，解
??8
得a?1，当a?0时， g?x??1，不符合题意；当a?0时， 81a??，解得．综上所述，可得a的取值9
?2a?1?48
a?1?
3
4
g?x???a?1,?2a?1?，则有{
11??范围为 ???,????,???．故本题答案选D．
48??点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分
段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．
二、填空题
13．已知a??1,??， b??2,1?，若向量2a?b与c??8,6?共线，则a在b方向上的投影为_________． 【答案】35 5【解析】由题知2a?b??4,2??1?，又2a?b与c共线，可得24?8?2??1??0，得??1，则a在方向上的投影为
a?b33535．故本题应填． ??55b5x?y?2?0,14．已知实数x， y满足不等式组{x?2y?5?0,且z?2x?y的最大值为a，
y?2?0,?则?acos20xdx=__________． 2【答案】3?
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【解析】
作出可行域，目标函数可变为y?2x?z，令z?0，作出y?2x，由平移可知直线过
π2?4,?π时2z取最大值，则
a?zmax?6．则
xππ3π． 6cosdx?3cosx?3dx?3sinx|?3x|??00?3π．故本题应填??20015．在?ABC中，角A， B， C的对边分别为a， b， c，
btanB?btanA??2ctanB，且a?8， ?ABC的面积为43，则b?c的值为
__________． 【答案】45
【解析】由正弦定理，原等式可化为sinB?sinBsinAsinB?sinB???2sinC?，cosBcosAcosB进一步化为cosAsinB?sinAcosB??2sinCcosA，则sin?A?B???2sinCcosA，
12π即cosA??．在三角形中A?．由面积公式S23ABC?1bcsinA?43，可知22bc?16，由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA??b?c??bc，代入可得
b?c?45．故本题应填45．
点睛：本题主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.选择余弦定理和面积时，要以已知角的为主．
16．已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）
A?BCD的外接球， BC?3， AB?23，点E在线段BD上，且BD?3BE，
过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________.
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【答案】?2?,4??
【解析】
令BCD的中心为O1，球O的半
2?3，则32径为R，连接O1D,OD,O1E,OE，易求得O1D?3sin60?AO1?AD2?DO12?3，在RtOO1D中，由勾股定理得R2?3??3?R?，解?3得R?2，由BDB，E知O1EBC,DE?2DB?2，所以3O1E?DE2?DO12?1，所以OE?O1E2?OO12?2．当截面与OE垂直时，
截面的面积最小，此时截面圆的半径r?R2?OE2?2，此时截面面积为
2π．当截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为4π．故本
题应填?2?,4??．
点睛：解决球与其他几何体的内切，外接问题的关系在于仔细观察，分析几何体的结构特征，搞清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能的体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．
三、解答题
17．已知?1?x???1?x???1?x??列?an?的前n项和Sn. （1）求数列?an?的通项公式； （2）数列?bn?满足bn?2an23??1?x?的展开式中x的系数恰好是数
n?2an?12??an?1?1?，记数列?bn?的前n项和为Tn，求证：
Tn?1.
【答案】（1）an?n;（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）由二项展开式可知各项中x的系数，求和后可得Sn，
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利用Sn与an间的关系可得数列?an?的通项公式；（2）由an的通项公式可求
2n得bn的通项公式bn?n，对bn进行裂项，用裂项法可求得Tn，n?12?12?1????利用放缩法可证明不等式．
试题解析：（1）?1?x???1?x???1?x??111C1?C2?C3?1211?Cn? C2?C2?C3?23??1?x?的展开式中x的系数为
21?Cn? Cn?1?n121n?n，即22Sn?121n?n，所以当n?2时， an?Sn?Sn?1?n； 22当n?1时， a1?1也适合上式，所以数列?an?的通项公式为an?n. （2）证明：
2nbn?n? n?12?12?1????11?，所以nn?12?12?1111111Tn?1?????n?n?1 ?1?n?1，所以Tn?1.
337?21?221?118．如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为垂心.
的
（1）求证：平面（2）若
平面； ，求二面角
251 . 17的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）cos??【解析】试题分析：（1）延长OG交AC于点M，由重心性质及中位线性质可得OM//BC，再结合圆的性质得OM?AC，由已知PA?OM，可证OM? 平面PAC，进一步可得平面OPG? 平面PAC；（2）以点C为原点， CB，
CA， AP方向分别为x， y， z轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．
试题解析：（1）如图，延长OG交AC于点M.因为G为?AOC的重心，所以M为AC的中点.
因为O为AB的中点，所以OM//BC.因为AB是圆O的直径，所以BC?AC，所以OM?AC. 因为PA?平面ABC， OM?平面ABC，所以PA?OM.又PA?平面PAC，
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AC?平面PAC,PA?AC= A，所以OM? 平面PAC.即OG?平面PAC，
又OG?平面OPG，所以平面OPG ?平面PAC.
（2）以点C为原点， CB， CA， AP方向分别为x， y， z轴正方向建立空间直角坐标系C?xyz，则C?0,0,?0， A?0,1,0?， B?3,0,0，
??31???3?1?， O??,0,00,,0?，则OM????2,2,0??， P?0,1,2?， M???22???????31?OPG即为平面OPM，设平面OPM的一个法向量为OP????2,2,2??.平面
??3x?0,2令z?1，得n??0,?n??x,y,z?，则{4,1?.过点C31n?OP??x?y?2z?0,22n?OM??作CH?AB于点H，由PA?平面ABC，易得CH?PA，又PA?AB?A，所以CH?平面PAB，即CH为平面PAO的一个法向量.
在Rt?ABC中，由AB?2AC，得?ABC?30?，则?HCB?60?，
13. CH?CB?22所以
xH?CcHo?s3H?C，B 4yH?CHsin?HCB?34.所以
?33?CH???4,4,0??.
??设二面角A?OP?G的大小为???s，则coCH?CH?n? n第 10 页 共 17 页