www.mathfans.net 中学数学免费网 www.mathfans.net PFEDCAB 33．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，侧棱长为2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=3，D是侧棱CC1上一点，且BD与底面所成角为30°. （1）求点D到AB所在直线的距离. （2）求二面角A1－BD－B1的度数. 答案
ADADADCDCADDAAB
16、满分12分。如图，以C为原点建立空间直角坐标系O?xyz。 （I）解：依题意得B?0, 1, 0?，N?1, 0, 1?，∴ BN??1?0?2??0?1?2??1?0?2?3 （II）解：依题意得A1?1, 0, 2?，B?0, 1, 0?，C?0, 0, 0?，B1?0, 1, 2?。 ∴
BA1??1, ?1, 2?，CB1??0, 1, 2?。
BA1?CB1?3。BA1?6，
CB?CB1?5 ∴ cos?BA111?CB1? ?BA1BA1?CB?1030 1（III）证明：依题意得C1?0, 0, 2?，M
??1?2, 12, 2???，A1B???1, 1, ?2?，C?11?111M???2, 2, 0?? ， ∴ A1B?C1M??2?2?0?0，∴A1B ?C1M ——12分
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17、本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分。 方法一：
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。 ∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点 在?PAC中，EO是中位线，∴PA // EO 而EO?平面EDB且PA?平面EDB， 所以，PA // 平面EDB PEFDOABC （2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD?DC ∵PD=DC，可知?PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ∴DE?PC。 ① 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。 而DE?平面PDC，∴BC?DE。 ② 由①和②推得DE?平面PBC。 而PB?平面PBC，∴DE?PB
又EF?PB且DE?EF?E，所以PB⊥平面EFD。
（3）解：由（2）知，PB?DF，故?EFD是二面角C—PB—D的平面角。 由（2）知，DE?EF,PD?DB。
设正方形ABCD的边长为a，则PD?DC?a,BD?2a
PB?PD2?BD2?3a， PC?PD2?DC2?2a
DE?12PC?a。 22在Rt?PDB中，DF?PD?BDa?2a6??a。 PB33a本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！
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2aDE3?2??在Rt?EFD中，sinEFD?，∴?EFD?。
3DF26a3所以，二面角C—PB—D的大小为
?。 3方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC?a。 （1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。 依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,aa,)。 22∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(,a2a,0)且 2aaPA?(a,0,?a),EG?(,0,?)。
22∴PA?2EG，这表明PA//EG。
而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA//平面EDB。 zPFEDGAxBCy （2）证明；依题意得B(a,a,0)，PB?(a,a,?a)。又DE?(0,aa,)，故22a2a2PB?DE?0???0。
22∴PB?DE。
由已知EF?PB，且EF?DE?E，所以PB?平面EFD。 （3）解：设点F的坐标为(x0,y0,z0)，PF??PB，则
(x0,y0,z0?a)??(a,a,?a)。
从而x0??a,y0??a,z0?(1??)a。所以
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FE?(?x0,aa11?y0,?z0)?(??a,(??)a,(??)a)。 2222由条件EF?PB知，FE?PB?0，即
111??a2?(??)a2?(??)a2?0，解得??
223aa2a,)，且 ∴点F的坐标为(,333aaaaa2aFE?(?,,?)，FD?(?,?,?)
366333a2a22a2???0 ∴PB?FD??333即PB?FD，故?EFD是二面角C—PB—D的平面角。
a2a2a2a2???∵FE?FD?，且 91896a2a2a26a2a24a26|FE|????a，|FD|????a，
9363669993FE?FD|FE||FD|a2666a?a631。 2∴cosEFD???∴?EFD??3。
所以，二面角C—PB—D的大小为
?。 3AA1所在直线为Oz轴，以经过
18、解：（1）如图，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以原点且与平面
ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系。由已知，得
A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,2a),C1(?（2）坐标系如上。取
3aa,,2a)4分 22aA1B1的中点M，于是有M(0,,2a),连AM,MC1有
2且
MC1?(?3a,0,0)2AB?(0,a,0),AA1?(0,0,2a)
所以，
由于
MC1?AA1?0,MC1?AA1?0
MC1?面ABB1A1 ∴
AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角。
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19．（12分） ①∵CC1⊥面ABC， ∠B=90°，∴DB⊥AB， ∴DB的长是点D到AB所在直线的距离，
∠DBC是BD与底面所成的角，即∠DBC=30°，∵BC=
3， ∴BD=
BC3?cos?DBCcos30?=2 .
……（6分） ②过B1作B1E⊥BD于E，连A1E，∵BB1⊥AB，AB⊥BC，且BB1∩BC=B，∴AB
⊥平面BCC1B1，∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵B1E⊥BD，∴A1E⊥BD，即∠A1EB1是面A1BD与面BDC1B1所成二面角的平面角. 连 B1D . ∵BC= ∵CC1=2，∴D为CC1的中点 ∴S△BDB1=
B1E·2=
3，BD=2，∴CD=1 .
12B1E·BD=
12SBCC1B1 ∴
12BC·CC1 即
12
123·2
Rt△A1B1E中，tan∠A1EB1=
∴B1E=
3在
A1B1133???,??A1EB1?arctan? B1E3363（12分）
3aaa29?AC1?(?a,,2a),AM?(0,,2a),?AC1?AM?0??2a2?a222244而AC1?3aa??2a2?3a,AM?442292aa33?2a2?a,?cosAC1,AM?4?34223a?a22所以，AC1与AM所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为300 一、
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