不动点定理及其应用
摘 要 不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给
出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.
关键词 不动点;不动点定理;Banach空间
Fixed Point Theorems and Its Applications
Abstract The fixed point theorem is one of important tools in
studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved.
Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space
不动点定理及其应用
0 引言
在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论
[1-3]
.而在非线性泛函中是
研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义.
定义 0.1设映射T:X?X,若x?X满足Tx?x,则称x是T的不动点.即在函数取值的过程中,有一点x?X使得Tx?x.
对此定义,有以下理解.
1）代数意义：若方程Tx?x有实数根x0,则Tx?x有不动点x0.
2）几何意义：若函数y?f?x?与y?x有交点?x0,y0?则x0就是y?f?x?的不动点.
在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算.
本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳.
1 Banach不动点定理及其应用 1.1相关概念
首先介绍本文用的一些概念.
定义1.1.1 设X为距离空间,?xn?是X中的点列,若对任给的??0,存在
[3]
N?0,使得当m,n?N时,??xm,xn???.则称点列?xn?为基本点列或Cauchy点列.
1
如果X中的任一基本点列均收敛于X中的某一点,则称X为完备的距离空间.
定义1.1.2 定义在线性空间上的映射统称为算子.
[3]
定义1.1.3 给定距离空间?X,??及映射T:X?X,若x?X满足Tx?x，则
[3]
称x是T的不动点.
1.2 Banach不动点定理
定理1.2.1 设X是完备的距离空间，距离为?.T是由X到其自身的映
[3]
射，且对任意的x,y?X,不等式??Tx,Ty?????x,y?成立,其中?是满足不等式
0???1的常数.那么T在X中存在唯一的不动点.即存在唯一的x?X,使得Tx?x.
证明 在X中任意取定一点x0,令
x1?Tx0，x2?Tx1，?，xn?1?Txn，? 首先证明?xn?是X中的一个基本点列. 因为
??x1,x2????Tx0,Tx1?????x0,x1?????x0,Tx0?； ??x2,x3????Tx1,Tx2?????x1,x2???2??x0,Tx0?； ????????? 于是
??xn,xn?1???n??x0,Tx0?，n?1,2,3,?
??xn,xn?p????xn,xn?1????xn?1,xn?2??????xn?p?1,xn?p?
???n??n?1????n?p?1???x0,Tx0?
?n?1??p??n??x0,Tx0????x0,Tx0?. ?1??1??又0???1,故?n?0?n???,即?xn?是基本点列.由于X完备,所以由定义1.1.1
2
知?xn?收敛于X中某一点x.另外,由??Tx,Ty?????x,y?知,T是连续映射.在
xn?1?Txn中,令n??,得Tx?x,因此x是T的一个不动点.
下面证明唯一性.设另有y使y?Ty,则
??x,y????Tx,Ty?????x,y?,
考虑到0???1,则有??x,y??0,即x?y.
定理1.2.2 设T是由完备距离空间X到其自身的映射,如果存在常数
[3]
?:o???1以及自然数n0使得
00 ?(Tnx,Tny)???(x,y)(x,y?X) ?1?
那么T在X中存在唯一的不动点.
证明 由不等式?1?,Tn满足定理1.2.1的条件,故Tn存在唯一的不动点x0.
00现在证明x0也是映射T唯一的不动点.事实上
Tn(Tx0)?Tn?1(x0)?T(Tnx0)?Tx0
000可知,Tx0是映射Tn的不动点.由Tn不动点的唯一性,可得Tx0?x0,故x0是映射
00T的不动点.若T另有不动点x1,则由
Tnx1?Tn?1Tx1?Tn?1x1???Tx1?x1
000知x1也是Tn的不动点.仍由唯一性,可得x1?x0.
01.3 Banach不动点定理的应用
1.3.1在讨论积分方程解的存在性与唯一性中的应用
例1.3.1.1给定积分方程
x?t??f?t????K?t,s?x?s?ds ?2?
ab其中f?t?是?a,b?上的已知连续函数,K?t,s?是定义在矩形区域a?t?b,a?s?b上的已知连续函数,证明当?足够小时（?是常数）,?2?式在?a,b?上存在唯一连
3
续解.
证明 在C?a,b?内规定距离
??y1,y2??maxy1?x??y2?x?
a?t?b令 ?Tx??t??f?t????K?t,s?x?s?ds
ab则当?充分小时,T是C?a,b??C?a,b?的压缩映射. 因
??Tx1,Tx2??max?Tx1??t???Tx2??t?
a?t?b??max?K?t,s??x1?s??x2?s??dsa?t?bab ??max?K?t,s?x1?s??x2?s?ds
a?t?bab??M??x1,x2?,其中M?max?K?t,s?ds,从而当?M?1时,T是压缩映射,则由定理1.2.1知方
a?t?bab程对于任一f?t??C?a,b?解存在并且唯一.
例1.3.1.2 考虑微分方程初值问题
?dy?dx?f?x,y?,? ?3? ?yx?x?y0,0?其中f?C?R2?,且f?x,y?关于y满足Lipschitz条件,即存在L?0使
f?x,y??f?x,y'??Ly?y'，x,y,y'?R ?4?
则初值问题?3?在R上存在唯一解.
证明 微分方程(3)等价于积分方程 y?x??y0??f?t,y?t??dt，
x0x4