取??0,使L??1.在C?x0,x0???上定义映射
?T???x??y0??f?t,y?t??dt,
x0x则由(4)式得
T??T? =maxx0?x?x0??x0???f?t,??t???f?t,??t????dt
xx ?maxx0?x?x0??x0?L??t????t?dt
?L????, ?,??C?x0,x0???，
已知L??1,故由定理1.2.1知存在唯一的连续函数?0?C?x0,x0???,使?0?T?0,即
?0?x??y0??f?t,?0?t??dt，
x0x且?0?x?在?x0,x0???上连续可微，且y??0?x?就是微分方程?2?在?x0,x0???上的唯一解.
1.3.2在数列求极限中的应用
由定理1.2.1的证明可知,若f是?a,b?上的压缩映射,则对?x1??a,b?,由递
xn为f的唯一不动点. 推公式xn?1?f?xn?确定的数列?xn?收敛,且x0?limn??例1.3.2.1 证明：若f?x?在区间I??a?r,a?r?上可微,f??x??a?1且
[5]
f?a??a??1?a?r，任取x0?I.令x1?f?x0?,x2?f?x1?,??,xn?1?f?xn? ,则
limxn?x*,x*为方程x?f?x? 的根（即x*为f?x?的不动点）.
n??证明 已知x0?I,设xn?I则
xn?1?a?f?xn??f?a??f?a??a?f'???xn?a?f?a??a（??(xn,a)）
5
由已知得 xn?1?a?ar??1?a?r?r
即xn?1?I,从而得知,一切xn?I.由微分中值定理,存在?在xn与xn?1之间,即
??I使得
xn?1?xn?f?xn??f?xn?1??f'???xn?xn?1?axn?xn?1,?0?a?1?.
这表明xn?1?f?xn?是压缩映射,所以?xn?收敛.又因f?x?连续.在xn?1?f?xn?里取极限知?xn?的极限为x?f?x? 的根.
aax2n?1,n?2,3??;求证数列?xn?收敛例1.3.2.2 设x1?,a??0,1?,xn??222[9]
并求其极限.
ax2a?a?证明 易知0?xn?.则我们在区间?0,?上考虑函数f?x???,对
222?2?x21x221a?a???x1?x2x1?x2?x1?x2 ?x1,x2??0,?有f?x1??f?x2??2222?2?a??a??0,1??.即f?x?是?0,??上的压缩映射.从而?xn?收敛于方程的解.设
?2?ax20x0??得x0?1?a?1.
221.3.3在数学建模中的应用
不动点定理也是连续函数的一个重要性质,在数学分析中我们就知道这样一个结论“闭区间上的连续函数必然存在不动点”.在一些数学建模题目的解答上应用不动点定理会使得求解更简单,下面就介绍几个不动点定理在数学分析中的形式及其在解决数学建模问题中的应用,进而深化对不动点定理的认识以及说明此定理应用的广泛性.
引理1.3.3.1 设f?x?在?a,b?上连续，且f?a?,f?b?异号,则f?x?在?a,b?内
[6-7]
至少存在一点c使得f?c??0.
6
定理1.3.3.2 设f?x?是定义在?a,b?上的连续函数,其满足a?f?x??b，
[6-7]
则在?a,b?上至少存在一个不动点x0,即f?x0??x0.
例1.3.3.1 日常生活中常有这样一个经验：把椅子往不平的地面上放,通常只有三个脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以是四只脚同时着地,放稳了.我们将这个问题转化为纯数学问题.现在应用不动点定理对其进行解释说明.
模型假设： 对椅子和地面做一些假设：
1）椅子四条腿一样长,倚脚与地面可视为一点,四脚的连线呈正方形. 2）地面高度是连续变化的,沿任何地方都不会出现间断点（没有像台阶那样的情况）.即地面可视为数学上的连续曲面.
3）对于椅脚的间距和倚腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
4）椅子转动时中心不动.
模型分析：在图1中椅脚连线为正方形ABCD,对角线AC与x轴重合,椅子绕中心点O旋转角度?后,正方形ABCDB'B转至
A?B?C?D?的位置,所以对角线AC与x轴A'C夹角?表示了椅子的位置.
其次要把椅脚着地用数学符号表来.如果用某个变量表示椅脚与地面的
?OAx示出竖直
C'DD'距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同位置是椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量?的函数.
设f???为A,C两脚与地面距离之和，g???为B,D两脚与地面距离之和.由假
7
设2）知,f???和g???都是连续的函数.由假设3）,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，所以对于任意的?，f???和g???中至少有一个为零.即f???g???=0，当??0时不妨设g????0,f????0.从而数学问题就转化为求证存在?0,使
???f??0??g??0??0,?0????.
2??模型求解：令h????f????g???.因
???????? h?0??f?0??g?0??0,h????f???g???0.
?2??2??2???则由定理1.3.3.2知,必存在?0???0,?,使h??0??0,即f??0??g??0??0.
?2?1.3.4在解线性方程组中的应用
例1.3.4.1设有线性方程组x?Cx?b其中C??cij?是n?n方阵，
[1]
b??b1,b2,?,bn?是未知向量,证明：若矩阵C满足sup?cij?1,i?1,2,?,n，则
Tij?1n方程x?Cx?b有唯一解.
xi?yi,则X是完备的度量证明 设X是Rn（或Cn）,定义度量??x,y??max1?i?n空间.
作映射T:X?X,Tx?Cx?b,x?X.若
x??x1,x2,?,xn??X,y??y1,y2,?,yn??X,
TT??n?????cx?b?cy?b则 ??Tx,Ty??max???ijji?ijji? ??1?i?n?j?1???
n?max?cijxj?yj?max?cij??x,y??a??x,y?
1?i?nj?11?i?nj?1nn而a?max?cij?1,所以T是X上的压缩映射,定理1.2.1知,存在唯一的x*?Rn,
1?i?nj?1使得x*?Cx*?b.
8
2 Leray—Schauder不动点定理 2.1 相关概念
定义2.1.1 称映射f:U?Y在x0?U处连续,是指对任给??0,存在??0,
[3]
当x?U且x?x0??时,恒有f(x)?f(x0)??.若f在U内每一点连续,则称f在
U上连续.
定义2.1.2 设X,Y为线性赋范空间,D?X,称映射F:D?Y为紧映射,
[4]
如果F将D中的任何有界集S映成Y中的相对紧集F(S),即F(S)是Y的紧集.如果映射F是连续的,则称F为紧连续映射,或全连续映射.
定义2.1.3 设M是U的一个子集,如果对任意的y1,y2?M以及满足
[3]
0???1的任意实数?,元素?y1?(1??)y2仍属于M,则称M是U的凸集.如果M既是闭集且凸集,则称M是U中的闭凸集.
2.2 Leray—Schauder不动点定理及应用
定理2.2.1（Brouwer不动点定理）设?是Rn中的有界闭凸子集，??表示?的相对边界；设f?C(?,Rn)并且满足f(??)??.则在?上必有不动点.
例2.2.1 设B是实l2空间的闭单位球,令f:B?B为
? f?x????1?x,?1,?2,??,x???k??B.
2??则f在B上连续,但f在B上却没有不动点（否则，存在x?B，使f?x??x.由此推得?1?1?x,?2??1,?,再由x?l2得x?0,这又导致f?x???1,0,0,???x，得到矛
2盾）.
在应用中,常常涉及到无穷维空间（如C?a,b?,L2?a,b?）上的算子,由上例可知，Brouwer不动点定理对无穷维空间不再成立,尽管如此,我们注意到有线维
9