???简单周期信号??周期信号???复杂周期信号?确定性信号? ??瞬变信号?非周期信号??信号???准周期信号?? ?非平稳周期信号???各态历经随机信号?随机信号?平稳随机信号????非各态历经随机信号??图2-3 信号分类
2.2 周期信号与离散频谱
我们所研究的信号，一般是随时间变化的物理量，抽象为以时间为自变量表达的函
数，称为信号的时域描述。求取信号幅值的特征参数以及信号波形在不同时刻的相似性和关联性，称为信号的时域分析。时域描述是信号最直接的描述方法，它只能反映信号的幅值随时间变化的特征，而不能明显表示出信号的频率构成。因此必须研究信号中蕴涵的频率结构和各频率成分的幅值、相位关系。
描述信号的独立变量若是频率，则称为信号的频域分析。以频率作为独立变量建立信号与频率的函数关系，称为频域分析或频谱分析。频谱分析主要方法之一是傅里叶变换。为了解决不同问题，往往需要掌握信号不同方面的特征，所以对同一信号的时域描述和频域描述两种形式是可以互相转换的，而且所包含的信息量是相同的。
一、傅里叶级数与周期信号的频谱
1．傅里叶级数(FS-Fourier Series)的三角函数展开式
周期函数x(t)，若在有限区间内，满足狄里赫利(Dirichlet)条件，就可展开成傅里叶级数，傅里叶级数的三角函数展开式为
x(t)?a0??(ancosn?0t?bnsinn?0t) (n?1, 2, 3, ? ) （2-6）
n?1n其中，常值分量 a0?1T?T/2?T/2x(t)dt （2-7a）
2T/2x(t)cosn?0tdt （2-7b） ??T/2T2T/2x(t)sinn?0tdt （2-7c） 正弦分量的幅值bn??T?T/2余弦分量的幅值an?式中，T——周期；
?0——角频率，?0?2?/T。
若周期信号无奇偶性，可以将式(2-6)中的正弦和余弦合并，将其改写为
nx(t)?a0??Ansin(n?0t??n) （2-8）
n?1其中 An?22an?bn
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tan?n?an bn上式表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号，均可在一个周期内表示成一常量和一系列正弦分量之和的形式。其中，n=1的那个正弦分量称为基波，相应的频率称为基频；当n=2，3，?时，依次称为二次、三次??n次谐波，相应的频率称为二次、三次??n次谐波频率。
2. 周期信号的频谱
式(2-8)实际描述了周期信号x(t)的频率结构。以幅值An为纵坐标，以频率
? (??n?0, n?1, 2, 3, ?)为横坐标画出的An?? 图称为幅值频谱图，简称幅频谱；
以?n为纵坐标，以? (??n?0, n?1, 2, 3, ?)为横坐标画出的?n??图称为相位频谱图，简称相频谱。
幅频谱、相频谱统称频谱。对信号进行变换，获得频谱的过程也就是对信号谱分析的过程。
例2-1求如图2-4a所示的周期方波x (t)的频谱，该方波在一个周期内的表达式为
0?t?T/2?A x(t)???A -T/2?t?0?解 由图可知，该周期信号x(t)为奇函数，因此在式(2-7)中，an=0, a0=0,即
nx(t)??bnsinn?0t (n?1, 2, 3, ? )
n?1
图2-4 周期方波及频谱
a) 方波图形 b) 方波信号的幅频图 c) 方波信号的相频图
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2T/24T/22AT/2x(t)cosn?tdt?Acosn?tdt?[?cosn?t]0000T??T/2T?0n?其中
n?2, 4, 6, ??0 ??2An?1, 3, 5, ??n? bn?该周期方波可写成
?x(t)?4A?(sin?0t?sin3?0t?sin5?0t??)?13154A? (?1nsin?t)n?1其中 ??n?0 n?1, 3, 5, ?
画出其频谱图如2-4b、c所示。其相频谱中基波和各次谐波的初相位都为0。
例2-2 求图2-5a所示三角波的频谱，其一个周期的表达式为
-T/2?t?0?A ?(2A/T)t x(t)?? 0?t?T/2?A?(2A/T)t
图2-4 三角波及频谱
a) 三角波图形 b) 三角波信号的幅频图 c) 三角波信号的相频图
解：a0?1T?T/2?T/2x(t)dt?2T/2A2A(A?t)dt? T?0T22T/24AT/22A2an??x(t)cosn?0tdt?(1?t)cosn?tdt?(1?cosn?)0TT?T/2T?0(n?)2?2A n?1, 3, 5, ?? ??(n?)2? n?2, 4, 6, ??0 由图可知，x(t)?x(?t), x(t)是偶函数。则
bn?0
于是有
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A4A11?2(cos?0t?cos3?0t?cos5?0t??)2?925
A4A?1 ??2?2cosn?0t n?1, 3, 5, ?2?n?1nx(t)?其频谱图如图2-5b、c所示。
从以上两例可看出，三角波信号的频谱比方波信号的频谱衰减得快，这说明三角波的频率结构主要由低频成分组成，而方波中所含高频成分比较多。这一特点反映到时域波形上，表现为含高频成分多的时域波形(方波)的变化比含高频成分少的时域波形(三角波)的变化要剧烈得多。因此，可根据时域波形变化剧烈程度，大概判断它的频谱成分。
周期信号的频谱具有以下特点： (1)离散性 频谱是离散的。
(2)谐波性 频谱中的谱线只出现在基频的整数倍频率处，即各次谐波频率都是基频?0的整数倍(n?0)。
(3)收敛性 各次谐波分量随频率增加，其总的趋势是衰减的。因此，在实际频谱分析时，可根据精度需要决定所取谐波的次数。
通过频谱分析可以把一个复杂的时间信号分解成一系列简单的正弦谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波幅值和相位信息。这对于动态测试具有重要的意义。
图2-6所示的三维图，表明了同一个周期信号方波(图中只画出一个周期)的时域描述和频域描述间的对应关系。时域描述、频域描述是对同一信号的不同描述方法，并没有改变信号本身的特性，它们只是通过不同的描述方法表征了信号的不同特征。
图2—6周期方波的时域和频域对应关系
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
由于复指数函数在某些场合下运算和分析非常简便，因此可以将傅里叶级数写成复指数函数形式。
根据欧拉公式 e可得
?j?t?cos?t?jsin?t (2-9)
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1?j?t(e?ej?t) (2-10) 21sin?t?j(e?j?t?ej?t) (2-11)
2cos?t?将式（2-10）和式（2-11）代入式（2-6），得
11x(t)?a0??[(an?jbn)e?jn?0t?(an?jbn)ejn?0t] (2-12)
2n?12令 C0?a0 (2-13a)
?C?n?1(an?jbn) (2-13b) 21Cn?(an?jbn) (2-13c)
2即 x(t)?C0??Cn?1?n??ne?jn?0t?Cnejn?0t (2-14)
则 x(t)?式中
n????Cejn?0t (n??1, ?2, ?3, ?) (2-15)
1Cn?(an?jbn)212T/22T/2 ?[?x(t)cosn?0tdt?j?x(t)sinn?0tdt]
2T?T/2T?T/21T/2 ??x(t)(cosn?0t?jsinn?0t)dtT?T/2因此 Cn?1T/2?jn?0tx(t)etdt (2-16) ??T/2T从上式可以看出Cn是一个复数，可表示为
Cn?CnR?jCnI?Cnej?n
22Cn?CnR?CnI
?n?arctanCnI CnR以Cn、?n为纵坐标，为?横坐标作图，可得到复指数形式傅里叶级数展开式的幅频图和相频图。
例2-3 求例2-1中周期方波信号的复指数形式的傅里叶级数展开式。 解：将x(t)分为两个半周期代入式（2-16）得
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