用均值不等式求最值的类型及方法
均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式
a2?b2①a?b?2ab?ab?当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、b?R)，222?a?b??②a?b?2ab?ab??当且仅当a = b时，“=”号成立； ?(a、b?R)，2??2a3?b3?c3(a、b、c?R?)，③a?b?c?3abc?abc?当且仅当a = b = c时,“=”号成立；
3333?a?b?c??④a?b?c?3abc?abc???(a、b、c?R) ,当且仅当a = b = c时,“=”号成
3??33立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
a?b② 熟悉一个重要的不等式链：?ab??112?ab二、函数f(x)?ax?2a2?b2。 2b(a、b?0)图象及性质 xy?b2aba(1)函数f(x)?ax?bx?a、b?0?图象如图： ?a、b?0?性质：
o?2abxbab(2)函数f(x)?ax?x①值域：(??,?2ab]?[2ab,??)；
②单调递增区间：(??,?
bb]，[,??)；单调递减区间：(0,aabb,0). ]，[?aa- 1 -
三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数y?x?1(x?1)的最小值。
2(x?1)2解析：y?x?11x?1x?11(x?1)?(x?1)??1(x?1)????1(x?1) 2222(x?1)2(x?1)222(x?1)x?1x?1135???1， ??1?2222(x?1)22?33当且仅当
x?115即时，“=”号成立，故此函数最小值是。 ?(x?1)x?222(x?1)22评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通
常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：
①y?x2(3?2x)(0?x?) ②y?sin2xcosx(0?x?解析：①?0?x?32?2)
3,∴3?2x?0， 23x?x?(3?2x)3∴y?x2(3?2x)(0?x?)?x?x?(3?2x)?[]?1，
23当且仅当x?3?2x即x?1时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
②?0?x?值。
?2,∴sinx?0,cosx?0，则y?0，欲求y的最大值，可先求y2的最大
1?(sin2x?sin2x?2cos2x)2y2?sin4x?cos2x?sin2x?sin2x?cos2x1sin2x?sin2x?2cos2x34??()?, 2327当且仅当sinx?2cosx(0?x?22?2)?tanx?2，即x?arctan2时，
23。 9不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常
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要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。
4(0?x?1)的最小值。 xb解法一：（单调性法）由函数f(x)?ax?(a、b?0)图象及性质知，当x?(0,1]时，函数
x4f(x)?x?是减函数。证明：任取x1,x2?(0,1]且0?x1?x2?1，
x例3、若x、y?R?，求f(x)?x?则
f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?(x?xxx?444， ?)?(x1?x2)?4?21?(x1?x2)?12x1x2x1x2x1x2，
∴
∵
0?x1?x2?1?f(x1?x2?0,?f(xx1x2?4?0x1x2)f，则
f(1?x)2x?)，
0(x)4在(0,1]上是减函数。 x4故当x?1时，f(x)?x?在(0,1]上有最小值5。
x即f(x)?x?解法二：（配方法）因0?x?1，则有f(x)?x?24?(?x)2?4， xx易知当0?x?1时， ??减函数，
22?x?0且单调递减，则f(x)?(?x)2?4在(0,1]上也是xx44在(0,1]上是减函数，当x?1时，f(x)?x?在(0,1]上有最小值5。 xx444解法三：（导数法）由f(x)?x?得f?(x)?1?2，当x?(0,1]时，f?(x)?1?2?0，
xxx44则函数f(x)?x?在(0,1]上是减函数。故当x?1时，f(x)?x?在(0,1]上有最
xx即f(x)?x?小值5。
解法四：（拆分法）f(x)?x?13134(0?x?1)?(x?)??2x???5，
x1xxx当且仅当x?1时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
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类型Ⅳ：条件最值问题。 例4、已知正数x、y满足
81??1，求x?2y的最小值。 xy8x1yx16yx16y?10?2??18, ?yxyx解法一：（利用均值不等式）x?2y?(?)(x?2y)?10??81?x?y?1当且仅当?即x?12,y?3时“=”号成立，故此函数最小值是18。 ??x?16y?x?y解法二：（消元法）由
则
x81x，由y?0???1得y??0又x?0?x?8 x?8xyx?8x?2y?x?162x2(x?8)?161616?10?18。 ?x??x?2??(x?8)??10?2(x?8)?x?8x?8x?8x?8x?8当且仅当x?8?16即x?12,此时y?3时“=”号成立，故此函数最小值是18。 x?8?828??sinxx??x??sin2x 解法三：（三角换元法）令?则有?1?12??cosx?y???cos2x??y则：x?2y?82?8csc2x?2sec2x?8(1?cot2x)?2(1?tan2x)?10?8cot2x?2tan2x ?22sinxcosx?10?2(8cot2x)?(2tan2x)?18，
易求得x?12,此时y?3时“=”号成立，故最小值是18。
评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：
8181x?2y?(?)(x?2y)?2??x?2y?8。原因就是等号成立的条件不一致。
xyxy
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类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x、y满足xy?x?y?3，试求xy、x?y的范围。 解法一：由x?0,y?0，则xy?x?y?3?xy?3?x?y?2xy，
即(xy)?2xy?3?0解得2xy??1(舍)或xy?3，
当且仅当x?y且xy?x?y?3即x?y?3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,??)。 又x?y?3?xy?(x?y2)?(x?y)2?4(x?y)?12?0?x?y??2(舍)或x?y?6， 2当且仅当x?y且xy?x?y?3即x?y?3时取“=”号，故x?y的取值范围是[6,??)。
解法二：由x?0,y?0，xy?x?y?3?(x?1)y?x?3知x?1，
则：y?则
x?3x?3，由y?0??0?x?1， x?1x?1：
x?3x2?3x(x?1)2?5(x?1)?44xy?x????(x?1)??5?2x?1x?1x?1x?1当且仅当x?1?x4x?1，
4(x?0)即x?3，并求得y?3时取“=”号，故xy的取值范围是x?1[9,??)。
x?y?x?x?3x?1?4444?x??x??1?(x?1)??2?2(x?1)??2?6， x?1x?1x?1x?1x?1当且仅当x?1?4(x?0)即x?3，并求得y?3时取“=”号，故xy的取值范围是x?1[9,??)。
评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。
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