四、均值不等式易错例析： 例1. 求函数y??x?4??x?9?的最值。
x?x?4??x?9?x2?13x?363636错解：y??13?x??13?2x??25 ?xxxx 当且仅当x?36即x??6时取等号。所以当x??6时，y的最小值为25，此函数没有x最大值。
分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件，两个数都应大于零，因而导致错误。因为函数y?以必须对x的正负加以分类讨论。 正解：1）当x?0时，y?13?x?当且仅当x??x?4??x?9?的定义域为???，0???0，???，所
x3636?13?2x??25 xx36即x?6时取等号。所以当x?6时，ymin?25 x363636?????2??x???????12 ?0， ??x???????xxx 2）当x?0时，?x?0，??y?13?[(?x)?(?当且仅当?x??36)]?13?12?1 x36，即x??6时取等号，所以当x??6时，ymax?13?12?1. x9例2. 当x?0时，求y?4x?2的最小值。
x错解：因为x?0，y?4x?996?24x?? x2x2x3996所以当且仅当4x?2即x?时，ymin??2318。
4xx分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中4x与
9的积不是定值，导致应用错误。 2x3999正解：因为x?0，y?4x?2?2x?2x?2?32x?2x?2?3336
xxx - 11 -
3336369当且仅当2x?2，即x?时等号成立，所以当x?时，ymin?3336。
22x例3. 求y?x2?5x?42(x?R)的最小值。
1x?42错解：因为y?x2?5x?42?x2?4??2x2?4?1x?42?2，所以ymin?2
分析：忽视了取最小值时须
x2?4?1x2?4成立的条件，而此式化解得x??3，无解，
2所以原函数y取不到最小值2。 正解：令t?1x2?4?t?2?，则y?t?(t?2)
t15又因为t?1时，y?t?是递增的。所以当t?2，即x?0时，ymin?。
t2?例4.已知x,y?R且
14??1，求u?x?y的最小值. xy错解：?1?144???xy?4 ,?u?x?y?2xy?8,?u的最小值为8. xyxy分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为同时成立，故取不到最小值8. 正解：u?(x?y)(14?和x?y，而这两个式子不能xy144xy?)?5???5?4?9 xyyx当且仅当
4xy?即x?3,y?6时等号成立. ?u的最小值为9. yx综上所述，应用均值不等式求最值要注意：
一要正：各项或各因式必须为正数；
二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；
三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。
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巩固练习：
1、已知：x?y?a,m?n?b且a?b，则mx?ny的最大值为( )
2222a2?b2a2?b2a?b(A)ab (B) (C) (D)
222?2、若a,x,y?R，且x?y?ax?y恒成立，则a的最小值是( )
(A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、已知下列不等式： ①x?3?2x(x?R)；
②a?b?ab?ab(a,b?R)；
③a?b?2(a?b?1). 其中正确的个数是( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设a,b?R，则下列不等式中不成立的是( )
?22553223?3?a2?b211?2ab (C)(A)(a?b)(?)?4 (B)
abab2ab(D)?ab
a?b22?5、设a,b?R且2a?b?1,S?2ab?4a?b的最大值是( ) 2?12?1 (C)2?1 (D) 22ab6、若实数a,b满足a?b?2，则3?3的最小值是( )
(A)2?1 (B)
(A)18 (B)6 (C)23 (D)243 7、若正数a,b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是 . 8、若x,y?R,且2x?y?1，则
?ab?1ab?2
11?的最小值为 . xy229、若0?a?1,0?b?1,且a?b，则a?b,2ab,a?b,2ab中最大的是 .
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