【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，??，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）
【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。
其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数 由于上述十二个数的最小公倍数是60060
因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。 小结
本讲主要接触到以下几种典型题型：
1）数的整除。 参见例1，2，3，4 2）质数与合数（分解质因数）。参见例5，6
3）约数和倍数。 参见例7，8，9，10 4）数论的综合题型。 参见例11，12
【课外知识】 打开另一扇心窗
很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。 莉蒂雅自小双目失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望。稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力。不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中。浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中。莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各条道路了如指掌。她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多市民。
后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中。
启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富。不要总以为自己是最倒霉的。其实，上苍很公平。有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快乐
作业题
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（注：作业题--例题类型对照表，供参考）
题1，4—类型1；题2，6—类型3；题3，5，8—类型2；题7—类型2 1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 解：1+2+……+100=5050
9+18+27+……+99=9×(1+2+……+11)=495
随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555
12．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占7，得80～89分的人11数占2，得70～79分得人数占3，那么得70分以下的有________人。
111解：有7、2、3，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3]＝42的倍数；
又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。
?111??1????723?＝1人。 从而70分以下的有：42×?
3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。
解：枚举法：23，37，53，73，，有4个
4. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？
解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5） 和的最小值为31。 5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？ 解：设中间一个数为2x 那么5个数的和为10x=m^2 中间3个数的和为6x=n^3 设x=2^p × 3^q × 5^r
再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3
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X=36000
因此所求为2x+4=72004 6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？
解：A-B=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。 7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______． 【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题
【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是11=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是11=1331的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331． 8、（★★★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是 、 、 ． 【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意 1994+a+b+C=a·b·c．
取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数； 取a=3，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=
50152322不是整数；
取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59． 故5、7、59是满足题意的三个质数．
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